Questão 7) A velocidade v do paraquedista em queda livre é dada por
v=g cdot mc cdot(1-e^-(cm) cdot t)
onde g=9,8 m / s^2. Para um paraquedista com um coeficiente de arrasto c=15 kg / s calcule a massa m para que a velocidade seja v=35 m / s em t=9 s. Use o método da falsa posição e da secante modificada, com de<a=0,01, para determinar m até o nível de varepsilons= 0,1 %.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a massa m que zera a função
f(m) = g,mcl(1 - e^-cm,tr) - v
com g=9,8, c=15, t=9, v=35.
O conteúdo envolve métodos de ponto-fixo para raízes: falsa posição e secante modificada. Vamos definir
f(m)=9,8,m15l(1 - e^-15m,9r)-35
e aplicar os dois métodos até que o erro relativo aproximado varepsilona<0,1%, usando de<a=0,01 na secante modificada.

Passo 2

Primeiro usamos a falsa posição. Precisamos de ml e mu tais que f(ml),f(mu)<0.
Testando
f(30)approx 9,8cdot3015(1-e^-4,5)-35approx -15,62<0 e f(100)approx 9,8cdot10015(1-e^-1,35)-35approx +13,40>0
Logo [ml,mu]=[30,100] é um intervalo válido.

Passo 3

Aplicamos então o método da falsa posição, com
mr = mu - f(mu),ml - muf(ml) - f(mu),
e o erro relativo aproximado
varepsilona = gl|mr^(k)-mr^(k-1)mr^(k)gr|times100%
Iterando até varepsilona<0,1%:
Iteração 1:
ml=30,;mu=100,;fl=-15,62,;fu=+13,40
mr=100 - 13,4030-100-15,62 - 13,40approx67,67, frapprox+3,20,;varepsilonasimeq49,8%
Como fr>0, novo mu=67,67.
Iteração 2:
ml=30,;mu=67,67,;fu=+3,20
mrapprox61,26,;frapprox+0,60,;varepsilonasimeq10,5%
Novo mu=61,26.
Iteração 3:
mrapprox60,10,;frapprox+0,12,;varepsilonasimeq1,9%
Novo mu=60,10.
Iteração 4:
mrapprox59,87,;frapprox+0,01,;varepsilonasimeq0,38%
Novo mu=59,87.
Iteração 5:
mrapprox59,85,;frapprox+0,002,;varepsilonasimeq0,03%<0,1%
Concluímos pela falsa posição mapprox59,85.

Passo 4

Agora a secante modificada, que usa
mk+1 = mk - f(mk),de<a,mkf(mk+de<a,mk)-f(mk),
com de<a=0,01 e erro varepsilona igual ao da falsa posição. Escolhemos m0=50.
Iteração 1 ( m0=50):
f(50)approx-4,51, f(50,5)approx-4,26;Longrightarrow;m1approx59,02,;varepsilonasimeq15,3%
Iteração 2 ( m1=59,02):
f(59,02)approx-0,39,;f(59,61)approx-0,12;Longrightarrow;m2approx59,87,;varepsilonasimeq1,4%
Iteração 3 ( m2=59,87):
f(59,87)approx+0,01,;f(60,47)approx+0,26;Longrightarrow;m3approx59,85,;varepsilonasimeq0,04%<0,1%
Logo pela secante modificada mapprox59,85.

Resposta

Pelos dois métodos obtemos
m approx 59,85 kg

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