Questão 6) Você está projetando um tanque esférico para armazenar a água de uma pequena vila em uma região em desenvolvimento. O volume de líquido que ele armazena pode ser calculado por
onde V é o volume , h é a profundidade da água no tanque [ m ], R é o raio do tanque . Se , até que profundidade o tanque deve estar cheio para que ele armazene ? Para encontrar a solução utilize:
(A) Três iterações do método da falsa posição para determinar sua resposta. Determine o erro relativo aproximado depois de cada iteração.
(B) Três iterações do método de Newton-Raphson para determinar sua resposta. Determine o erro relativo aproximado depois de cada iteração.
Passo 1
O enunciado pede a profundidade que faz o volume
ser igual a , quando ,m.
Conteúdo: métodos numéricos de raiz (falsa posição e Newton– Raphson). Vamos definir a função
e buscar tal que .
Passo 2
Definimos
e seu derivado (para Newton):
Para falsa posição escolhemos o intervalo inicial em que e .
Para Newton tomaremos o chute inicial .
Passo 3
Primeira iteração do método da falsa posição:
onde usamos e .
Passo 4
Segunda iteração da falsa posição, agora com , , , :
Passo 5
Terceira iteração da falsa posição, com , , , :
Passo 6
Erros relativos aproximados na falsa posição usando