Questão 6) Você está projetando um tanque esférico para armazenar a água de uma pequena vila em uma região em desenvolvimento. O volume de líquido que ele armazena pode ser calculado por
V=pi cdot h^2 cdot 3 cdot R-h3
onde V é o volume [m^3], h é a profundidade da água no tanque [ m ], R é o raio do tanque [m]. Se R=3[m], até que profundidade o tanque deve estar cheio para que ele armazene 30 m^3 ? Para encontrar a solução utilize:
(A) Três iterações do método da falsa posição para determinar sua resposta. Determine o erro relativo aproximado depois de cada iteração.
(B) Três iterações do método de Newton-Raphson para determinar sua resposta. Determine o erro relativo aproximado depois de cada iteração.

Passo 1

O enunciado pede a profundidade h que faz o volume
V(h)=pi,h^2(3R-h)3
ser igual a 30, m^3 quando R=3,m.
Conteúdo: métodos numéricos de raiz (falsa posição e Newton– Raphson). Vamos definir a função
f(h)=pi,h^2(9-h)3-30
e buscar h>0 tal que f(h)=0.

Passo 2

Definimos
f(h)=pi3l(9h^2-h^3r)-30
e seu derivado (para Newton):
f'(h)=pi3(18h-3h^2)=pi,h,(6-h)
Para falsa posição escolhemos o intervalo inicial [a,b]=[0,6] em que f(0)=-30<0 e f(6)=36pi-30>0.
Para Newton tomaremos o chute inicial h0=3.

Passo 3

Primeira iteração do método da falsa posição:
h1 = b - f(b),a-bf(a)-f(b) =6 - 83,10,0-6-30-83,10 approx1,5911,
onde usamos f(a)=f(0)=-30 e f(b)=f(6)approx83,10.

Passo 4

Segunda iteração da falsa posição, agora com a=1,5911, f(a)approx-10,368, b=6, f(b)approx83,10:
h2 =6 - 83,10,1,5911-6-10,368-83,10 approx2,0749

Passo 5

Terceira iteração da falsa posição, com a=1,5911, f(a)approx-10,368, b=2,0749, f(b)approx1,235:
h3 =2,0749 - 1,235,1,5911-2,0749-10,368-1,235 approx2,0234

Passo 6

Erros relativos aproximados na falsa posição usando
ek=|hk-hk-1hk|
Tomando h0=0, h1=1,5911, h2=2,0749, h3=2,0234:
e1=|1,5911/1,5911|=1,0000 ( 100 %),
e2=|2,0749-1,5911|/2,0749approx0,2332 ( 23,32 %),
e3=|2,0234-2,0749|/2,0234approx0,0251 ( 2,51 %).

Passo 7

Primeira iteração de Newton–Raphson com h0=3:
h1 =3 - f(3)f'(3) =3 - 18pi-309pi approx3 - 0,9388 =2,0612

Passo 8

Segunda iteração de Newton:
h2 =2,0612 - f(2,0612)f'(2,0612) approx2,0612 - 0,795725,509 approx2,0300

Passo 9

Terceira iteração de Newton:
h3 =2,0300 - f(2,0300)f'(2,0300) approx2,0300 - 0,083025,333 approx2,0267

Passo 10

Erros relativos em Newton:
e1=|2,0612-3|/2,0612approx0,4555 ( 45,55 %),
e2=|2,0300-2,0612|/2,0300approx0,0154 ( 1,54 %),
e3=|2,0267-2,0300|/2,0267approx0,0016 ( 0,16 %).

Resposta

Profundidade aproximada:
  • Falsa posição ( 3 it.): happrox2,0234,m com erros relativos 100%, 23,3%, 2,51%.
  • Newton– Raphson ( 3 it.): happrox2,0267,m com erros relativos 45,6%, 1,54%, 0,16%.

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