A economia de um carro (km/litro) varia com sua velocidade. Em um experimento, são feitas as cinco medições a seguir.
Velocidade (km/h) 16 40 64 88 112
Economia (km/litro) 4,2 9,2 10 10,7 8,6
Interpole os dados usando splines lineares e calcule a economia de combustível à velocidade de e .

Passo 1

O enunciado dá cinco pontos (xi,yi) onde xi é a velocidade e yi é a economia:
(16,4,2),;(40,9,2),;(64,10),;(88,10,7),;(112,8,6)
Queremos estimar por splines lineares os valores em x=48 e em x=105. A ideia do spline linear é, em cada subintervalo [xi,xi+1], aproximar por uma reta que passe por (xi,yi) e (xi+1,yi+1).

Passo 2

Para x=48 notamos que 48 está entre x2=40 e x3=64. Usamos a fórmula de interpolação linear:
f(48) = y2 + (48 - x2),y3 - y2x3 - x2
Aqui y2=9,2, y3=10, x2=40, x3=64.

Passo 3

Calculando o coeficiente angular no trecho [40,64]:
m = y3 - y2x3 - x2 = 10 - 9,264 - 40 = 0,824 = 0,0333ldots
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f(48) = 9,2 + (48 - 40)times 0,0333ldots = 9,2 + 8times 0,0333ldots = 9,4666ldots approx 9,47 (km/l)

Passo 4

Para x=105 vemos que está em [88,112], com y4=10,7, y5=8,6, x4=88, x5=112. O coeficiente angular é
m = 8,6 - 10,7112 - 88 = -2,124 = -0,0875
Então
f(105) = 10,7 + (105 - 88)times(-0,0875) = 10,7 - 17times 0,0875 = 10,7 - 1,4875 = 9,2125 approx 9,21 (km/l)

Resposta

f(48)approx9,47 km/l e f(105)approx9,21 km/l.

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