Três peças de tecido medem respectivamente,
e 324 m . Pretende-se dividir em retalhos de igual comprimento. Qual deverá ser esse comprimento de modo que o
número de retalhos seja o menor possível? Em quantos pedaços as peças serão divididas? R: O comprimento é de 36 m e o número de peças serão de 5,7 e 9 pedaços.
número de retalhos seja o menor possível? Em quantos pedaços as peças serão divididas? R: O comprimento é de 36 m e o número de peças serão de 5,7 e 9 pedaços.
Passo 1
O enunciado dá três comprimentos de tecido:
,
e
. Pergunta 1: qual deve ser o comprimento de cada retalho (todos do mesmo comprimento) de modo que o número total de retalhos seja o menor possível? Pergunta 2: em quantos pedaços cada peça será dividida? Essas são as informações e perguntas que vamos usar para resolver passo a passo.
Passo 2
Entendimento da ideia principal (a regra que usamos): para dividir as três peças em retalhos de igual comprimento sem sobrar nada, esse comprimento deve ser um divisor comum de
,
e
— ou seja, um número que divide exatamente cada um dos três comprimentos. Se quisermos que o número de retalhos seja o menor possível, precisamos que cada retalho seja o maior possível (peças maiores → menos pedaços). Portanto, devemos escolher o maior número que divide os três comprimentos ao mesmo tempo: isto é o máximo divisor comum, chamado MDC (ou GCD em inglês). Explico com exemplo rápido: se eu tenho
e
e quero cortar em pedaços iguais sem sobra, os divisores comuns são
; o maior é
, e com pedaços de
eu tenho
e
pedaços — total menor do que escolher peça menor (por exemplo
dá 4+6 pedaços). Logo, vamos calcular o MDC de
,
e
.
Passo 3
Método escolhido para achar o MDC: fatoração em primos (muito didático e seguro). Vou decompor cada número em fatores primos, explicando cada passo.
Decomposição de
:
Reagrupando em potências:
Explicação:
, houve dois fatores
(um de
e outro de
) e um fator
.
Decomposição de
:
Explicação:
e
.
Decomposição de
:
Explicação:
.
Resumo das fatorações:
Passo 4
Como calcular o MDC a partir das fatorações: para cada primo que aparece em todas as três fatorações, tomamos a menor potência (expoente mínimo) que aparece entre os três números. Os primos comuns às três fatorações são
e
. Os expoentes mínimos são: para
é
(porque todos têm
); para
é
(porque
e
têm
, e
tem
, então o mínimo é
). O primo
aparece só em
e
só em
, então não entram no MDC.
Portanto
Passo 5
Calculemos o valor numérico do MDC:
Interpretação: o maior comprimento possível de cada retalho, que divide exatamente as três peças, é
. Isso garante o menor número de retalhos possível.
Passo 6
Agora determinamos em quantos pedaços cada peça será dividida: dividimos cada comprimento por
.
Para
:
porque
.
Para
:
porque
.
Para
:
porque
.
Explicação final rápida: se tivéssemos escolhido um comprimento menor que
(por exemplo
), cada peça rendia mais pedaços (pior para a pergunta que pede o menor número de retalhos). Se tivéssemos escolhido um comprimento maior que
não seria possível cortar todas as três peças sem sobra, porque
é o maior divisor comum.
Resposta
O comprimento deve ser de
.
As peças serão divididas em ,
e
pedaços.
As peças serão divididas em