Três peças de tecido medem respectivamente, 180 \mathrm{~m}, 252 \mathrm{~m} e 324 m . Pretende-se dividir em retalhos de igual comprimento. Qual deverá ser esse comprimento de modo que o
número de retalhos seja o menor possível? Em quantos pedaços as peças serão divididas? R: O comprimento é de 36 m e o número de peças serão de 5,7 e 9 pedaços.

Passo 1

O enunciado dá três comprimentos de tecido: 180\\ \mathrm{m}, 252\\ \mathrm{m} e 324\\ \mathrm{m}. Pergunta 1: qual deve ser o comprimento de cada retalho (todos do mesmo comprimento) de modo que o número total de retalhos seja o menor possível? Pergunta 2: em quantos pedaços cada peça será dividida? Essas são as informações e perguntas que vamos usar para resolver passo a passo.

Passo 2

Entendimento da ideia principal (a regra que usamos): para dividir as três peças em retalhos de igual comprimento sem sobrar nada, esse comprimento deve ser um divisor comum de 180, 252 e 324 — ou seja, um número que divide exatamente cada um dos três comprimentos. Se quisermos que o número de retalhos seja o menor possível, precisamos que cada retalho seja o maior possível (peças maiores → menos pedaços). Portanto, devemos escolher o maior número que divide os três comprimentos ao mesmo tempo: isto é o máximo divisor comum, chamado MDC (ou GCD em inglês). Explico com exemplo rápido: se eu tenho 8 e 12 e quero cortar em pedaços iguais sem sobra, os divisores comuns são 1,2,4; o maior é 4, e com pedaços de 4 eu tenho 2 e 3 pedaços — total menor do que escolher peça menor (por exemplo 2 dá 4+6 pedaços). Logo, vamos calcular o MDC de 180, 252 e 324.

Passo 3

Método escolhido para achar o MDC: fatoração em primos (muito didático e seguro). Vou decompor cada número em fatores primos, explicando cada passo.
Decomposição de 180:
180 = 18 \times 10 = (2 \times 9)\times(2 \times 5).
Reagrupando em potências:
180 = 2^2 \times 3^2 \times 5.
Explicação: 9=3^2, houve dois fatores 2 (um de 18 e outro de 10) e um fator 5.
Decomposição de 252:
252 = 4 \times 63 = 2^2 \times (7 \times 9) = 2^2 \times 3^2 \times 7.
Explicação: 63=7\times9 e 9=3^2.
Decomposição de 324:
324 = 4 \times 81 = 2^2 \times 81 = 2^2 \times 3^4.
Explicação: 81=3^4.
Resumo das fatorações:
180 = 2^2 \times 3^2 \times 5,
252 = 2^2 \times 3^2 \times 7,
324 = 2^2 \times 3^4.

Passo 4

Como calcular o MDC a partir das fatorações: para cada primo que aparece em todas as três fatorações, tomamos a menor potência (expoente mínimo) que aparece entre os três números. Os primos comuns às três fatorações são 2 e 3. Os expoentes mínimos são: para 2 é 2 (porque todos têm 2^2); para 3 é 2 (porque 180 e 252 têm 3^2, e 324 tem 3^4, então o mínimo é 3^2). O primo 5 aparece só em 180 e 7 só em 252, então não entram no MDC.
Portanto
\mathrm{MDC}(180,252,324)=2^2 \times 3^2.

Passo 5

Calculemos o valor numérico do MDC:
2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36.
Interpretação: o maior comprimento possível de cada retalho, que divide exatamente as três peças, é 36\\ \mathrm{m}. Isso garante o menor número de retalhos possível.

Passo 6

Agora determinamos em quantos pedaços cada peça será dividida: dividimos cada comprimento por 36.
Para 180:
\frac{180}{36}=5,
porque 36\times5=180.
Para 252:
\frac{252}{36}=7,
porque 36\times7=252.
Para 324:
\frac{324}{36}=9,
porque 36\times9=324.
Explicação final rápida: se tivéssemos escolhido um comprimento menor que 36 (por exemplo 18), cada peça rendia mais pedaços (pior para a pergunta que pede o menor número de retalhos). Se tivéssemos escolhido um comprimento maior que 36 não seria possível cortar todas as três peças sem sobra, porque 36 é o maior divisor comum.

Resposta

O comprimento deve ser de 36\\ \mathrm{m}.
As peças serão divididas em 5, 7 e 9 pedaços.

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