Duas rodas dentadas se engrenam uma a outra, a primeira tem 48 dentes e demora 4 segundos em cada volta, a segunda tem 104 dentes. Colocam-se em movimento e se pergunta ao cabo de quanto tempo, se encontram na mesma posição inicial? R: 52 segundos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informações:
- A primeira roda tem
dentes. - A primeira roda demora
segundos em cada volta. - A segunda roda tem
dentes. - As duas rodas estão engrenadas (ou seja, contactam-se por dentes).
- A primeira roda tem
- Pergunta:
- Ao cabo de quanto tempo as duas rodas se encontram novamente na mesma posição inicial (isto é, retornam simultaneamente à orientação em que começaram)?
Passo 2
Entendendo o movimento das rodas e a relação entre velocidades: quando duas rodas dentadas engrenam, o ponto de contato tem a mesma velocidade linear para as duas rodas. Se assumirmos módulo de dentes constante (raio proporcional ao número de dentes), isso implica que as velocidades angulares satisfazem uma relação inversa aos números de dentes. Vou explicar isso devagarinho.
- Seja
o número de dentes da roda 1 e o número de dentes da roda 2. - Seja
a velocidade angular (em rotações por segundo) da roda 1 e a da roda 2. - Como o raio é proporcional ao número de dentes, a igualdade de velocidades lineares no ponto de contato dá, em módulo,
Isso significa que . - Em termos de períodos (tempo por volta), se
é o período da roda 1 e o da roda 2, temos , logo
Aqui expliquei a fórmula e cada variável:
= dentes;
= rotações por segundo;
= segundos por rotação.
Passo 3
Aplicando a fórmula para achar o período da segunda roda:
- Substituindo
, e : - Calcule passo a passo:
- Portanto
segundos (aproximadamente s).
Passo 4
Condição para retornarem à posição inicial simultaneamente: cada roda deve ter feito um número inteiro de voltas ao tempo
. Ou seja, existem inteiros positivos
e
tais que
Queremos o menor
que satisfaz isso (o primeiro instante em que ambos voltam à orientação inicial).
Passo 5
Resolver a igualdade para os menores inteiros
:
- Escreva a igualdade com os valores conhecidos:
- Multiplicando ambos os lados por
para evitar frações: - Dividindo por
(máximo divisor comum de e ): - Para que
seja múltiplo de , o menor possível é (porque e são coprimos), e aí fica . - Explicando: como
é primo em relação a , para que o produto contenha o fator é necessário que contenha o fator . O menor é .
- Explicando: como
- Logo o menor par de inteiros positivos que satisfaz a igualdade é
e .
Passo 6
Calcular o tempo correspondente:
- Use
:
Passo opcional (intuição via mínimo múltiplo comum dos dentes): outra maneira de ver rapidamente é notar que a configuração retorna quando o número de dentes passados no contato atinge o mínimo múltiplo comum de
e
. Calculando
fatorando
e
, obtemos
Isso corresponde a
voltas da roda 1, ou seja
s, mesmo resultado.
Resposta
52 segundos.