Duas rodas dentadas se engrenam uma a outra, a primeira tem 48 dentes e demora 4 segundos em cada volta, a segunda tem 104 dentes. Colocam-se em movimento e se pergunta ao cabo de quanto tempo, se encontram na mesma posição inicial? R: 52 segundos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informações:
    • A primeira roda tem 48 dentes.
    • A primeira roda demora 4 segundos em cada volta.
    • A segunda roda tem 104 dentes.
    • As duas rodas estão engrenadas (ou seja, contactam-se por dentes).
  • Pergunta:
    • Ao cabo de quanto tempo as duas rodas se encontram novamente na mesma posição inicial (isto é, retornam simultaneamente à orientação em que começaram)?

Passo 2

Entendendo o movimento das rodas e a relação entre velocidades: quando duas rodas dentadas engrenam, o ponto de contato tem a mesma velocidade linear para as duas rodas. Se assumirmos módulo de dentes constante (raio proporcional ao número de dentes), isso implica que as velocidades angulares satisfazem uma relação inversa aos números de dentes. Vou explicar isso devagarinho.
  • Seja Z_1 o número de dentes da roda 1 e Z_2 o número de dentes da roda 2.
  • Seja \omega_1 a velocidade angular (em rotações por segundo) da roda 1 e \omega_2 a da roda 2.
  • Como o raio é proporcional ao número de dentes, a igualdade de velocidades lineares no ponto de contato dá, em módulo, \omega_1 Z_1 = \omega_2 Z_2.Isso significa que \omega_2 = \dfrac{Z_1}{Z_2}\,\omega_1.
  • Em termos de períodos (tempo por volta), se T_1 é o período da roda 1 e T_2 o da roda 2, temos \omega_i = 1/T_i, logo \frac{1}{T_2} = \frac{Z_1}{Z_2}\cdot\frac{1}{T_1} \quad\Longrightarrow\quad T_2 = \frac{Z_2}{Z_1}\,T_1.
Aqui expliquei a fórmula e cada variável: Z_1,Z_2 = dentes; \omega_1,\omega_2 = rotações por segundo; T_1,T_2 = segundos por rotação.

Passo 3

Aplicando a fórmula para achar o período da segunda roda:
  • Substituindo Z_1=48, Z_2=104 e T_1=4: T_2 = \frac{104}{48}\cdot 4.
  • Calcule passo a passo: \frac{104}{48}\cdot 4 = \frac{104}{12} = \frac{26}{3}.
  • Portanto T_2 = \dfrac{26}{3} segundos (aproximadamente 8{,}666\ldots s).

Passo 4

Condição para retornarem à posição inicial simultaneamente: cada roda deve ter feito um número inteiro de voltas ao tempo t. Ou seja, existem inteiros positivos k_1 e k_2 tais que
t = k_1 T_1 = k_2 T_2.
Queremos o menor t>0 que satisfaz isso (o primeiro instante em que ambos voltam à orientação inicial).

Passo 5

Resolver a igualdade para os menores inteiros k_1,k_2:
  • Escreva a igualdade com os valores conhecidos: k_1\cdot 4 = k_2\cdot \frac{26}{3}.
  • Multiplicando ambos os lados por 3 para evitar frações: 12\,k_1 = 26\,k_2.
  • Dividindo por 2 (máximo divisor comum de 12 e 26): 6\,k_1 = 13\,k_2.
  • Para que 6\,k_1 seja múltiplo de 13, o menor k_1 possível é k_1=13 (porque 6 e 13 são coprimos), e aí k_2 fica k_2=6.
    • Explicando: como 13 é primo em relação a 6, para que o produto 6k_1 contenha o fator 13 é necessário que k_1 contenha o fator 13. O menor é k_1=13.
  • Logo o menor par de inteiros positivos que satisfaz a igualdade é k_1=13 e k_2=6.

Passo 6

Calcular o tempo correspondente:
  • Use t = k_1 T_1: t = 13 \cdot 4 = 52\\ \text{segundos}.
Passo opcional (intuição via mínimo múltiplo comum dos dentes): outra maneira de ver rapidamente é notar que a configuração retorna quando o número de dentes passados no contato atinge o mínimo múltiplo comum de 48 e 104. Calculando
\operatorname{lcm}(48,104):
fatorando 48=2^4\cdot3 e 104=2^3\cdot13, obtemos
\operatorname{lcm}(48,104)=2^4\cdot3\cdot13=624.
Isso corresponde a 624/48=13 voltas da roda 1, ou seja 13\cdot 4=52 s, mesmo resultado.

Resposta

52 segundos.

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