Efetue a análise harmônica da função f:[-1,1] R dada por
f(x)=||x|-14|
até o harmônico de primeira ordem.

Passo 1

Beleza, a ideia é fazer a série de Fourier de
f(x)=llvert,|x|-tfrac14rrvert,, xin[-1,1]
até o primeiro harmônico. Isso é conteúdo de Análise Harmônica (Séries de Fourier em a0=1Lintegral-L^Lf(x),dx, an=1Lintegral-L^Lf(x)cos!l(npi x/Lr),dx,; bn=0 com ).
O que vamos usar:
  1. Reconhecer que é par, então todos os .
  2. Fórmulas para os coeficientes com .
  3. Fazer integrais por partes para achar e .

Passo 2

Calcular a0=integral-1^1 f(x),dx . Como integral-1^1 f(x),dx=2integral0^1llvert,x-tfrac14rrvert,dx ,
integral0^1f(x),dx =integral0^1/4(1/4-x),dx+integral1/4^1(x-1/4),dx =516
Como a0=58, a02=516 é par,
Para :
  • se , .
  • se , .
    Então
Logo .
Portanto

Passo 3

Calcular a1=integral-1^1f(x)cos(pi x),dx =2integral0^1f(x)cos(pi x),dx =2l(I1+I2r), .
I1=integral0^1/4(1/4-x)cos(pi x),dx, I2=integral1/4^1(x-1/4)cos(pi x),dx
onde
I1=1pi^2l(1-tfracraiz22r), I2=-1pi^2l(1+tfracraiz22r)
Fazendo integração por partes em cada um, obtém-se
a1=2l(I1+I2r) =2pi^2l(1-tfracraiz22-1-tfracraiz22r) =-2raiz2pi^2
Então

Passo 4

Como é par, todos os . Em particular .

Resposta

A aproximação de boxedf(x)approx a02+a1cos(pi x) =516-2raiz2pi^2,cos(pi x) até o primeiro harmônico é

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