São dadas as funções u=(-1 / 2,-1 / 2,0,3 / 2,1 / 2), v=(0,1,-1,1,0), w=(1,2,0,1,0) e p=(1,1,1,1,1), todas elas definidas nos pontos xi=i, i=1, ldots, 5. Desejamos determinar a, b e c reais, tal que |f-p| seja mínimo, onde f=a u+b v+c w e |f-p|^2=sumi=1^5(f(xi)-p(xi))^2.
Escreva um sistema linear para a resolução deste problema.

Passo 1

Beleza, então o que o exercício pede é isso: a gente tem quatro vetores em ℝ⁵, que são
u=(-tfrac12,-tfrac12,0,tfrac32,tfrac12), v=(0,1,-1,1,0), w=(1,2,0,1,0), p=(1,1,1,1,1)
A ideia é construir uma combinação linear
f(xi)=a,u(xi)+b,v(xi)+c,w(xi)
de modo que o vetor erro tenha norma mínima. Isso é um problema de mínimos quadrados: a gente vai usar produto interno e derivar um sistema — as chamadas “equações normais” — para achar .

Passo 2

Teoria rápida: se queremos minimizar
|f-p|^2=sumi=1^5l(f(xi)-p(xi)r)^2
e lang<= f-p,,urang<= =0, lang<= f-p,,vrang<= =0, lang<= f-p,,wrang<= =0 , a condição de mínimo é que o vetor erro seja ortogonal a cada gerador do subespaço:
Isso gera um sistema linear em chamado sistema normal.

Passo 3

Escrevendo as equações normais:
lang<= a u + b v + c w - p,,urang<= = 0, lang<= a u + b v + c w - p,,vrang<= = 0, lang<= a u + b v + c w - p,,wrang<= = 0
Expandindo o produto interno (ele é linear), isso dá
a,lang<= u,urang<= + b,lang<= v,urang<= + c,lang<= w,urang<= = lang<= p,urang<=, a,lang<= u,vrang<= + b,lang<= v,vrang<= + c,lang<= w,vrang<= = lang<= p,vrang<=, a,lang<= u,wrang<= + b,lang<= v,wrang<= + c,lang<= w,wrang<= = lang<= p,wrang<=

Passo 4

Agora é só calcular cada produto interno. Vou mostrar um exemplo de cálculo:
lang<= u,urang<= = sumi=1^5 ui^2 = l(-tfrac12r)^2 + l(-tfrac12r)^2 + 0^2 + l(tfrac32r)^2 + l(tfrac12r)^2 = tfrac14+tfrac14+0+tfrac94+tfrac14 = 3
Fazendo isso para todos, obtemos:
lang<= u,urang<==3, lang<= u,vrang<==1, lang<= u,wrang<==0,
lang<= v,vrang<==3, lang<= v,wrang<==3, lang<= w,wrang<==6,
lang<= p,urang<==1, lang<= p,vrang<==1, lang<= p,wrang<==4

Resposta

O sistema linear para encontrar 3 & 1 & 0 1 & 3 & 3 0 & 3 & 6 abc = 114 (as equações normais) fica:
[

.
]

Exercícios relacionados