São dadas as funções e , todas elas definidas nos pontos . Desejamos determinar e reais, tal que seja mínimo, onde e .
Escreva um sistema linear para a resolução deste problema.
Passo 1
Beleza, então o que o exercício pede é isso: a gente tem quatro vetores em ℝ⁵, que são
A ideia é construir uma combinação linear
de modo que o vetor erro tenha norma mínima. Isso é um problema de mínimos quadrados: a gente vai usar produto interno e derivar um sistema — as chamadas “equações normais” — para achar .
Passo 2
Teoria rápida: se queremos minimizar
e , a condição de mínimo é que o vetor erro seja ortogonal a cada gerador do subespaço:
Isso gera um sistema linear em chamado sistema normal.
Passo 3
Escrevendo as equações normais:
Expandindo o produto interno (ele é linear), isso dá