Seja
definida no intervalo
.
Efetue a análise harmônica de
até o harmônico de terceira ordem.
Efetue a análise harmônica de
Passo 1
Então, basicamente a questão pede para fazer a análise harmônica (ou seja, a série de Fourier) da função
até o terceiro harmônico.
Conteúdo: séries de Fourier em funções periódicas.
O que vamos precisar:
Conteúdo: séries de Fourier em funções periódicas.
O que vamos precisar:
- Fórmulas dos coeficientes
, e . - Ver que
é par ( ), então todos os serão zero. - Calcular integrais para obter
e .
Passo 2
Calcular o termo médio
.
Definição:
Definição:
Como
é par,
Compute:
Logo
Passo 3
Calcular os coeficientes
.
Fórmula geral (para função par):
Fórmula geral (para função par):
Vamos usar integração por partes em
.
- Seja
⇒ . - Seja
⇒ .
Então
O primeiro termo é zero porque
e
.
Sobrou
Sobrou
Portanto
Passo 4
Verificação para
a1 = 4picdot1^2=4pi, a2 = 0, a3 = 4picdot3^2=49pi e
.
- Para
par: ⇒ . - Para
ímpar: ⇒
Logo:
E como
é par, todos os
.
Passo 5
Escrever a série de Fourier até o terceiro harmônico.
A série geral é
A série geral é
Mantendo até
f(x)approx pi2 + a1cos(x) + a3cos(3x) = pi2 + 4picos(x) + 49picos(3x) e lembrando que
e
: