Seja f(x)=pi-|x| definida no intervalo [-pi, pi].
Efetue a análise harmônica de f até o harmônico de terceira ordem.

Passo 1

Então, basicamente a questão pede para fazer a análise harmônica (ou seja, a série de Fourier) da função
f(x)=pi - |x|,, xin[-pi,pi]
até o terceiro harmônico.
Conteúdo: séries de Fourier em funções periódicas.
O que vamos precisar:
  1. Fórmulas dos coeficientes , e .
  2. Ver que é par ( ), então todos os serão zero.
  3. Calcular integrais para obter e .

Passo 2

Calcular o termo médio a0 = 1piintegral-pi^pif(x),dx .
Definição:
integral-pi^pif(x),dx = 2integral0^pi(pi - x),dx
Como integral0^pi(pi - x),dx = l[pi x - tfracx^22r]0^pi = pi^2 - tfracpi^22 = tfracpi^22 é par,
a0 = 1picdot 2cdot pi^22 = pi
Compute:
Logo

Passo 3

Calcular os coeficientes an = 1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx = 2piintegral0^pi(pi - x)cos(nx),dx .
Fórmula geral (para função par):
In = (pi - x),sin(nx)n|0^pi ;-;integral0^pil(-1r),sin(nx)n,dx
Vamos usar integração por partes em
In = 1nintegral0^pisin(nx),dx = 1nl[-cos(nx)nr]0^pi = 1n^2l[-cos(npi)+cos(0)r] = 1n^2l[1-(-1)^nr] .
  • Seja an = 2pi,In = 2pi,1-(-1)^nn^2 .
  • Seja .
    Então
O primeiro termo é zero porque e .
Sobrou
Portanto

Passo 4

Verificação para a1 = 4picdot1^2=4pi, a2 = 0, a3 = 4picdot3^2=49pi e .
  • Para par: .
  • Para ímpar:
    Logo:
E como é par, todos os .

Passo 5

Escrever a série de Fourier até o terceiro harmônico.
A série geral é
f(x) = a02 + sumn=1^infty l[ancos(nx) + bnsin(nx)r]
Mantendo até f(x)approx pi2 + a1cos(x) + a3cos(3x) = pi2 + 4picos(x) + 49picos(3x) e lembrando que e :

Resposta

boxed f(x) approx pi2 + 4pi,cos(x) + 49pi,cos(3x) (até o terceiro harmônico) éô

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