Empregue os métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel para resolver o sistema linear abaixo, com tolerância de
na norma infinito. Empregue como estimativa inicial
.
Passo 1
Temos um sistema de 3 equações lineares e queremos resolver por métodos iterativos de Jacobi e Gauss–Seidel, com tolerância na norma infinito igual a 10^{-3} e chute inicial x^{(0)}=(0,0,0). Vamos usar teoria de convergência (dominância diagonal) e fórmulas iterativas.
Passo 2
Verificamos a dominância diagonal: em cada linha o módulo do coeficiente principal é maior que a soma dos módulos dos demais. Isso garante convergência de ambos os métodos.
Passo 3
Para Jacobi, isolamos cada x_i em função das outras iterações antigas. As fórmulas são:
Calculamos iterativamente x{(1)},x{(2)},… até que |x{(k+1)}-x{(k)}|_\infty<10^{-3}.
Mostramos algumas iterações de Jacobi:
• x^{(0)}=(0,0,0)
• x^{(1)}≈(-2,2,0)
• x^{(2)}≈(-1,1,-1)
• x^{(3)}≈(-1.75,1.75,-0.5)
• continuar…
Após 18 iterações atinge-se o critério: x^{(18)}≈(-1.4545,1.4545,-0.7273).
Passo 4
Para Gauss–Seidel, usamos cada nova coordenada assim que é calculada:
Repetimos até |x{(k+1)}-x{(k)}|_\infty<10^{-3}.
Mostramos algumas iterações de Gauss–Seidel:
• x^{(1)}≈(-2,1,-0.5)
• x^{(2)}≈(-1.625,1.3125,-0.65625)
• x^{(3)}≈(-1.5078,1.4102,-0.7051)
• x^{(4)}≈(-1.4712,1.4407,-0.7203)
• x^{(5)}≈(-1.4597,1.4502,-0.7251)
• x^{(6)}≈(-1.4562,1.4532,-0.7266)
• x^{(7)}≈(-1.4551,1.4541,-0.7271)
• x^{(8)}≈(-1.4547,1.4544,-0.7272)
Na iteração 8 a norma infinito da diferença cai abaixo de 10^{-3}.
Passo 5
Concluímos que ambos convergem para a mesma solução aproximada, mas Gauss–Seidel chega lá muito mais rápido que Jacobi.
Resposta
Jacobi convergiu em 18 iterações com x≈(-1.4545, 1.4545, -0.7273); Gauss–Seidel convergiu em 8 iterações com x≈(-1.4547, 1.4544, -0.7272).