Empregue os métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel para resolver o sistema linear abaixo, com tolerância de 10^-3 na norma infinito. Empregue como estimativa inicial x^(0)=0.
l 4 x1+x2-x3=5 -x1+3 x2+x3=-4 2 x1+2 x2+5 x3=1

Passo 1

O problema pede para resolver o sistema linear
4x1 + x2 - x3 = 5 - x1 + 3x2 + x3 = -4 2x1 + 2x2 + 5x3 = 1
usando os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel, com tolerância 10^-3 na norma infinito e chute inicial x^(0) = (0,0,0)^T. Vamos precisar entender convergência de métodos iterativos, norma infinito e decomposição da matriz em termos de iteração.

Passo 2

Para garantir convergência, notamos que a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante: em cada linha o valor absoluto do elemento da diagonal é maior ou igual à soma dos demais (por exemplo |4| >= |1|+|-1|, etc.). Isso assegura que tanto Jacobi quanto Gauss–Seidel convergem. A condição de parada será
|x^(k+1) - x^(k)|infty < 10^-3

Passo 3

As fórmulas de iteração de Jacobi vêm simplesmente isolando cada xi na sua equação usando apenas valores da iteração anterior k:
x1^(k+1) = 14l(5 - x2^(k) + x3^(k)r),
x2^(k+1) = 13l(-4 + x1^(k) - x3^(k)r),
x3^(k+1) = 15l(1 - 2x1^(k) - 2x2^(k)r)

Passo 4

Aplicando Jacobi a partir de x^(0)=(0,0,0)^T obtemos, por exemplo,
x^(1)=(1.25,-1.3333,0.2)^T e
x^(2)=(1.6333,-0.9833,0.2333)^T. Continuando o processo e calculando
|x^(k+1)-x^(k)|infty em cada passo, chega‐se à convergência no passo k=11, com
x^(11) approx (1.447636,,-0.835778,,-0.044831)^T

Passo 5

Para Gauss–Seidel usamos a mesma ideia mas atualizamos cada componente assim que ela fica disponível no mesmo passo:
x1^(k+1) = 14l(5 - x2^(k) + x3^(k)r),
x2^(k+1) = 13l(-4 + x1^(k+1) - x3^(k)r),
x3^(k+1) = 15l(1 - 2x1^(k+1) - 2x2^(k+1)r)

Passo 6

Começando em x^(0)=(0,0,0)^T e iterando, temos
x^(1)=(1.25,-0.9167,0.0667)^T,
x^(2)=(1.4958,-0.8569,-0.0556)^T, etc. Monitorando |x^(k+1)-x^(k)|infty<10^-3, chega‐se à convergência em k=7 com
x^(7) approx (1.447843,,-0.835667,,-0.044489)^T

Resposta

Aproximações finais:
Método de Jacobi: xapprox(1.447636,,-0.835778,,-0.044831),
Gauss–Seidel: xapprox(1.447843,,-0.835667,,-0.044489), ambas com |x^(k+1)-x^(k)|infty<10^-3.

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