Sejam
e
o polinômio que satisfaz as condições de interpolação
Provar que
para todo
, se
. Provar que igualdade e atingida somente quando
, ou
.
Passo 1
O exercício trata de interpolação de Lagrange nos pontos x₀<…<xₙ e define um polinômio P∈Πₙ tal que P(xₖ)=(-1)^{n-k}. Queremos provar que, para qualquer função f com |f(xₖ)|≤1, a interpolação Lₙ(f;x) satisfaz |Lₙ(f;x)|≤|P(x)| sempre que x estiver fora do intervalo (x₀,xₙ), e caracterizar quando ocorre igualdade. Vamos usar a forma das bases de Lagrange e a representação de P nessas mesmas bases.
Passo 2
Recordemos que as bases de Lagrange lₖ(x) são definidas por
e que a interpolação de f e o polinômio P podem ser escritos como
Passo 3
Para x> x_n (o caso x< x₀ é análogo), temos ω(x)>0 e cada fator (x-x_k)>0, enquanto
|L_n(f;x)|=|\sum f(x_k)l_k(x)|\le\sum|f(x_k)||l_k(x)|\le\sum|l_k(x)|=|P(x)|.
Passo 4
Para a igualdade na estimativa em x fora de (x₀,xₙ) é preciso que em cada termo do somatório tenhamos |f(x_k)|=1 e f(x_k)l_k(x) tenha o mesmo sinal para todo k. Como sign l_k(x)=sign P(x_k), isso equivale a f(x_k)/P(x_k) constante ±1 para todos k, ou seja f(x_k)=P(x_k) ∀k ou f(x_k)=-P(x_k) ∀k.
Resposta
Para x\notin(x_0,x_n) vale
, e ocorre igualdade se, e somente se, f(x_k)=P(x_k) para todo k ou f(x_k)=-P(x_k) para todo k.