Sejam x0 e P(x) in pin o polinômio que satisfaz as condições de interpolação
P(xk)=(-1)^n-k, k=0, ldots, n
Provar que 0, ldots, n para todo 0, ldots, n, se . Provar que igualdade e atingida somente quando , ou .

Passo 1

O exercício trata de interpolação de Lagrange nos pontos x₀<…<xₙ e define um polinômio P∈Πₙ tal que P(xₖ)=(-1)^{n-k}. Queremos provar que, para qualquer função f com |f(xₖ)|≤1, a interpolação Lₙ(f;x) satisfaz |Lₙ(f;x)|≤|P(x)| sempre que x estiver fora do intervalo (x₀,xₙ), e caracterizar quando ocorre igualdade. Vamos usar a forma das bases de Lagrange e a representação de P nessas mesmas bases.

Passo 2

Recordemos que as bases de Lagrange lₖ(x) são definidas por
lk(x)=prodj=0^n(x-xj)(x-xk),omega'(xk),omega(x)=prodj=0^n(x-xj),
e que a interpolação de f e o polinômio P podem ser escritos como
Ln(f;x)=sumk=0^n f(xk),lk(x),
P(x)=sumk=0^n P(xk),lk(x)=sumk=0^n(-1)^n-k,lk(x)

Passo 3

Para x> x_n (o caso x< x₀ é análogo), temos ω(x)>0 e cada fator (x-x_k)>0, enquanto
omega'(xk)=prodjne k(xk-xj) tem sinal (-1)^{n-k}. Logo o denominador de lₖ(x) tem sinal (-1)^{n-k} e lₖ(x) tem sinal P(xₖ). Assim
P(x)=sumk=0^n(-1)^n-klk(x)=sumk=0^n|lk(x)|, pois todos os termos somados têm mesmo sinal. Então
|L_n(f;x)|=|\sum f(x_k)l_k(x)|\le\sum|f(x_k)||l_k(x)|\le\sum|l_k(x)|=|P(x)|.

Passo 4

Para a igualdade na estimativa em x fora de (x₀,xₙ) é preciso que em cada termo do somatório tenhamos |f(x_k)|=1 e f(x_k)l_k(x) tenha o mesmo sinal para todo k. Como sign l_k(x)=sign P(x_k), isso equivale a f(x_k)/P(x_k) constante ±1 para todos k, ou seja f(x_k)=P(x_k) ∀k ou f(x_k)=-P(x_k) ∀k.

Resposta

Para x\notin(x_0,x_n) vale |Ln(f;x)|<=|P(x)|, e ocorre igualdade se, e somente se, f(x_k)=P(x_k) para todo k ou f(x_k)=-P(x_k) para todo k.

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