Seja
o n-esimo polinômio de Chebyshev de primeira espécie. Determinar o coeficiente
.
Passo 1
Nesse exercício, queremos encontrar o coeficiente
do termo
no polinômio de Chebyshev de primeira espécie
. O conteúdo principal aqui é a expansão em série de Taylor binomial da forma fechada de
.
Passo 2
Uma forma fechada muito usada para
é a seguinte:
Passo 3
Para extrair os coeficientes, expandimos binomialmente. Primeiro, note que ao somar as duas potências só sobram termos de expoente par de
. Isso leva à expressão
Passo 4
Agora expandimos
usando o binômio:
Passo 5
Juntando tudo,
Passo 6
Para obter o coeficiente de
, imponha o expoente
Passo 7
Como o lado esquerdo é
, vemos que só há solução inteira quando
é ímpar, pois
é ímpar. Escrevendo
, temos
. O único modo de ter
é tomar
e
.
Passo 8
Substituindo
e
em
, obtemos
Passo 9
Para
par não existe termo em
, logo
nesses casos.