Seja Tn(x)=2^n-1 x^n+cdots+a1 x+a0 o n-esimo polinômio de Chebyshev de primeira espécie. Determinar o coeficiente a1.

Passo 1

Nesse exercício, queremos encontrar o coeficiente a1 do termo x no polinômio de Chebyshev de primeira espécie Tn(x)=2^n-1x^n+cdots+a1x+a0. O conteúdo principal aqui é a expansão em série de Taylor binomial da forma fechada de Tn(x).

Passo 2

Uma forma fechada muito usada para Tn(x) é a seguinte:
Tn(x)=(x+raizx^2-1)^n+(x-raizx^2-1)^n2

Passo 3

Para extrair os coeficientes, expandimos binomialmente. Primeiro, note que ao somar as duas potências só sobram termos de expoente par de raizx^2-1. Isso leva à expressão
Tn(x)=summ=0^lfloor n/2rfloorbinomn2m(x^2-1)^m,x^n-2m

Passo 4

Agora expandimos (x^2-1)^m usando o binômio:
(x^2-1)^m=sumi=0^mbinommix^2i(-1)^m-i

Passo 5

Juntando tudo,
Tn(x)=summ=0^lfloor n/2rfloorsumi=0^mbinomn2mbinommi(-1)^m-ix^n-2m+2i

Passo 6

Para obter o coeficiente de x^1, imponha o expoente
n-2m+2i=1

Passo 7

Como o lado esquerdo é n-2(m-i), vemos que só há solução inteira quando n é ímpar, pois 1 é ímpar. Escrevendo n=2k+1, temos m-i=k. O único modo de ter 0<= i<= m<= k é tomar m=k e i=0.

Passo 8

Substituindo m=k e i=0 em binomn2mbinommi(-1)^m-i, obtemos
binomn2k(-1)^k=binom2k+12k(-1)^k=(2k+1)(-1)^k=n(-1)^n-12

Passo 9

Para n par não existe termo em x, logo a1=0 nesses casos.

Resposta

a1=0,&se n é par,n(-1)^n-12,&se n é ímparééí

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