Christine espera ter \ 500.000 em seu fundo de aposentadoria quando se aposentar. Assumindo que seu fundo rende5 % ao ano compostos continuamente, seu contador lhe mostrou que, se ela fizer retiradas dex dólares por ano (óx>25.000 ), então o tempo necessário para que suas economias acabem será deãááT$ anos, onde
T=f(x)=20 \ln \left(\frac{x}{x-25.000}\right) \quad(\text { para } x>25.000)
a) Represente o gráfico de f no domínio [25.000, 50.000]
b) Qual o valor que Christine pode sacar anualmente se ela espera fazê-lo por 25 anos?
c) Determine \lim _{x \rightarrow 25.000^{+}} f(x). Esse resultado é esperado? Explique.
d) Determine \lim _{x \rightarrow \infty} f(x). Esse resultado é esperado?

Passo 1

O enunciado diz que Christine tem um fundo de \$500.000 que rende 5\% ao ano compostos continuamente, e que se ela fizer retiradas de x dólares por ano (com x>25.000), o tempo até o fundo zerar é
T = f(x) = 20 \ln\!\Bigl(\frac{x}{x - 25.000}\Bigr).
Precisamos:
  • (a) esboçar o gráfico de f em [25.000,50.000];
  • (b) achar x tal que f(x)=25;
  • (c) calcular \lim_{x\to25.000^+}f(x) e comentar;
  • (d) calcular \lim_{x\to\infty}f(x) e comentar.

Passo 2

Para esboçar f em [25.000,50.000], note que quando x\to25.000^+ o denominador x-25.000\to0^+, logo x/(x-25.000)\to+\infty e
f(x)=20\ln\!\Bigl(\tfrac{x}{x-25.000}\Bigr)\;\longrightarrow\;+\infty;
há, pois, uma assíntota vertical em x=25.000. Em x=50.000 temos
f(50.000)=20\ln\!\Bigl(\tfrac{50.000}{50.000-25.000}\Bigr) =20\ln(2)\approx13{,}86.
Além disso, a derivada
f'(x)=20\Bigl(\tfrac1x-\tfrac1{x-25.000}\Bigr) =-\frac{500.000}{x(x-25.000)}<0
mostra que f é decrescente. Portanto, o esboço vai de +\infty em x=25.000^+ até cerca de 13{,}86 em x=50.000, sempre decrescendo sem mudar de concavidade no intervalo.

Passo 3

Queremos f(x)=25, ou seja
20\ln\!\Bigl(\tfrac{x}{x-25.000}\Bigr)=25 \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\Bigl(\tfrac{x}{x-25.000}\Bigr)=\tfrac{25}{20}=1{,}25
\frac{x}{x-25.000}=e^{1{,}25} \quad\Longrightarrow\quad x = e^{1{,}25}(x-25.000)
x\bigl(1-e^{1{,}25}\bigr)=-25.000\,e^{1{,}25} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{25.000\,e^{1{,}25}}{e^{1{,}25}-1} \approx35.049{,}
ou seja, cerca de \$35.049 por ano.

Passo 4

Para \displaystyle\lim_{x\to25.000^+}f(x) observamos que
\frac{x}{x-25.000}\longrightarrow+\infty \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\Bigl(\tfrac{x}{x-25.000}\Bigr)\longrightarrow+\infty \quad\Longrightarrow\quad f(x)\longrightarrow+\infty.
No contexto, isso faz sentido: se ela retirar apenas um pouquinho acima de \$25.000 (exatamente o rendimento anual do fundo), o principal demoraria um tempo muito grande (tende a infinito) para acabar.

Passo 5

Para \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x), note que
\frac{x}{x-25.000}=\frac1{1-\tfrac{25.000}{x}}\longrightarrow1 \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\Bigl(\tfrac{x}{x-25.000}\Bigr)\longrightarrow0 \quad\Longrightarrow\quad f(x)\longrightarrow0.
Isso também é esperado: se ela sacar um valor gigantesco x, o fundo se esgota quase imediatamente ( T\approx0).

Resposta

a) Gráfico decrescente em [25.000,50.000] partindo de +\infty em x=25.000^+ e atingindo 20\ln2\approx13{,}86 em x=50.000, com assíntota vertical em x=25.000.
b) \displaystyle x=\frac{25.000\,e^{1{,}25}}{e^{1{,}25}-1}\approx35.049.
c) \displaystyle\lim_{x\to25.000^+}f(x)=+\infty. Esperado, pois sacar quase só o rendimento leva tempo muito grande para esgotar o principal.
d) \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=0. Esperado, pois saques enormes fazem o fundo acabar quase que instantaneamente.

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