Christine espera ter
500.000
5 %
x
x>25.000
T$ anos, onde
a) Represente o gráfico de f no domínio [25.000, 50.000]
b) Qual o valor que Christine pode sacar anualmente se ela espera fazê-lo por 25 anos?
c) Determine
. Esse resultado é esperado? Explique.
d) Determine
. Esse resultado é esperado?
b) Qual o valor que Christine pode sacar anualmente se ela espera fazê-lo por 25 anos?
c) Determine
d) Determine
Passo 1
O enunciado diz que Christine tem um fundo de
que rende
ao ano compostos continuamente, e que se ela fizer retiradas de
dólares por ano (com
), o tempo até o fundo zerar é
Precisamos:
- (a) esboçar o gráfico de
em ; - (b) achar
tal que ; - (c) calcular
e comentar; - (d) calcular
e comentar.
Passo 2
Para esboçar
em
, note que quando
o denominador
, logo
e
há, pois, uma assíntota vertical em
. Em
temos
Além disso, a derivada
mostra que
é decrescente. Portanto, o esboço vai de
em
até cerca de
em
, sempre decrescendo sem mudar de concavidade no intervalo.
Passo 3
Queremos
, ou seja
ou seja, cerca de
por ano.
Passo 4
Para
observamos que
No contexto, isso faz sentido: se ela retirar apenas um pouquinho acima de
(exatamente o rendimento anual do fundo), o principal demoraria um tempo muito grande (tende a infinito) para acabar.
Passo 5
Para
, note que
Isso também é esperado: se ela sacar um valor gigantesco
, o fundo se esgota quase imediatamente (
).
Resposta
a) Gráfico decrescente em
partindo de
em
e atingindo
em
, com assíntota vertical em
.
b) .
c) . Esperado, pois sacar quase só o rendimento leva tempo muito grande para esgotar o principal.
d) . Esperado, pois saques enormes fazem o fundo acabar quase que instantaneamente.
b)
c)
d)