Para encontrar uma aproximação para a integral
na qual
, siga este procedimento:
Construa uma tabela de valores (
) para
. O passo anterior lhe dará a informação de quantas casas decimais são necessárias;
Construa uma tabela de valores (
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já foi dado:
- Pede-se uma aproximação para a integral
. - A função é
. - Devemos construir uma tabela de valores
para . - O enunciado sugere que a tabela nos dará a informação de quantas casas decimais são necessárias para os valores de
ao construir a aproximação da integral. - Não há outro método obrigatório indicado no enunciado; usarei uma regra numérica clássica que emprega exatamente esses três pontos igualmente espaçados (regra de Simpson com
subintervalos), porque é apropriada, simples de aplicar na prova e costuma dar boa precisão para funções suaves como esta.
Passo 2
Calcular
passo a passo:
- Substituímos
em . - Então
. - Resultado:
.
Passo 3
Calcular
passo a passo, explicando cada operação:
- Primeiro calculemos o argumento do exponencial:
- Calcule
: - Divisão:
Ou seja, o expoente é . - Agora
. Para calcular com boa precisão usamos a expansão em série (ou uma aproximação numérica equivalente). A série de Taylor centrada em para é Substituindo :
Assim
- Resultado:
.
Passo 4
Calcular
aproveitando relação com
e detalhando:
- Note que
. Se chamarmos o número do passo anterior, então para o expoente é . - Então
- Usando
, elevamos ao quarto: - Primeiro quadrado:
(mostrando a ideia: multiplicamos número por ele mesmo). - Em seguida elevamos ao quadrado de novo para obter quarta potência:
- Ou calculando diretamente pela série para
com obtemos o mesmo valor aproximado.
- Primeiro quadrado:
- Resultado:
.
Passo 5
Construir a tabela
com as casas decimais apropriadas (usei várias casas nos cálculos e agora escolho quantas mostrar):
- A tabela dos pontos pedidos é
- Observação sobre casas decimais necessárias: guardei valores com 9 casas decimais para
e . Mais adiante vamos ver que, ao combinar esses valores na regra numérica, truncar/arrotondar para 6 casas decimais já deixa o resultado da integral inalterado até a casa , então 6 casas decimais são suficientes para a aproximação pedida na maioria das provas.]
Passo 6
Escolha do método numérico (por que Simpson) e explicação didática da fórmula:
- Temos três pontos igualmente espaçados em
: , , . O passo entre pontos é - A regra de Simpson para
subintervalos (que usa os três pontos) aproxima a integral por Explicando as letras: -
e são os limites de integração ( , ); -
é o tamanho de cada subintervalo ( ); -
são os valores da função nos pontos.
-
- Por que usar Simpson? Porque com três pontos igualmente espaçados é a fórmula que geralmente dá maior precisão (é baseada em aproximar
por uma parábola que passa pelos três pontos) e é simples de aplicar na prova.
Passo 7
Aplicar a regra de Simpson com os valores calculados (contas passo a passo):
- Primeiro calcule a combinação
: - Multiplicar:
. - Somar todos:
- Agora multiplicar por
. Como , - Finalmente a aproximação:
Passo 8
Verificação rápida da sensibilidade às casas decimais (para decidir quantas casas eram necessárias):
- Se usarmos valores arredondados a 6 casas decimais:
e ,
- A diferença entre o resultado com 9 casas decimais e com 6 casas decimais é da ordem de
a , ou seja, muito pequena para a maioria das aplicações de prova. Portanto as 6 casas decimais nos valores de são suficientes para garantir a integral com precisão até pelo menos . (Resumindo: a tabela com 6 casas decimais já fornece a precisão necessária; usei mais casas nos cálculos intermediários para segurança.)
Passo 9
Comentário breve sobre erro e conclusão:
- A regra de Simpson tem erro que depende da quarta derivada de
e de . Aqui é uma função exponencial muito suave e é pequeno ( ), então o erro é muito pequeno. A verificação numérica da sensibilidade às casas decimais mostrou que a aproximação é estável até a sexta casa decimal. - Conclusão numérica final (já calculada no passo 7): a integral aproximada é
. Vou colocar uma versão arredondada apropriada na resposta final.
Resposta
Tabela:
,
,
Aproximação da integral:
Aproximação da integral: