Para encontrar uma aproximação para a integral
\int_{0}^{1} f(x) d x na qual f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4.22}\right)^{2}}, siga este procedimento:
Construa uma tabela de valores ( x, f(x) ) para x \in\{0,1 / 2,1\}. O passo anterior lhe dará a informação de quantas casas decimais são necessárias;

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já foi dado:
  • Pede-se uma aproximação para a integral \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx.
  • A função é \displaystyle f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4{,}22}\right)^{2}}.
  • Devemos construir uma tabela de valores (x,f(x)) para x\in\{0,\tfrac{1}{2},1\}.
  • O enunciado sugere que a tabela nos dará a informação de quantas casas decimais são necessárias para os valores de f ao construir a aproximação da integral.
  • Não há outro método obrigatório indicado no enunciado; usarei uma regra numérica clássica que emprega exatamente esses três pontos igualmente espaçados (regra de Simpson com n=2 subintervalos), porque é apropriada, simples de aplicar na prova e costuma dar boa precisão para funções suaves como esta.

Passo 2

Calcular f(0) passo a passo:
  • Substituímos x=0 em \displaystyle f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4{,}22}\right)^{2}}.
  • Então \displaystyle f(0)=e^{-\left(\frac{0}{4{,}22}\right)^{2}}=e^{0}=1.
  • Resultado: \displaystyle f(0)=1.

Passo 3

Calcular f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) passo a passo, explicando cada operação:
  • Primeiro calculemos o argumento do exponencial: \left(\frac{1/2}{4{,}22}\right)^{2}=\frac{(1/2)^{2}}{(4{,}22)^{2}}=\frac{0{,}25}{4{,}22^{2}}.
  • Calcule 4{,}22^{2}: 4{,}22^{2}=17{,}8084.
  • Divisão: \frac{0{,}25}{17{,}8084}\approx 0{,}014038315\quad(\text{guardei várias casas para garantir precisão}).áãOu seja, o expoente é \displaystyle s\approx 0{,}014038315.
  • Agora f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=e^{-s}. Para calcular e^{-s} com boa precisão usamos a expansão em série (ou uma aproximação numérica equivalente). A série de Taylor centrada em 0 para e^{-s} é e^{-s}=1 - s + \frac{s^{2}}{2} - \frac{s^{3}}{6} + \cdotsSubstituindo s\approx 0{,}014038315: s^{2}\approx 0{,}000196 +\text{(pequenas parcelas)},\qquad \frac{s^{2}}{2}\approx 0{,}000098162,
\frac{s^{3}}{6}\text{ é da ordem }4{,}6\times10^{-7}\text{ (muito pequeno)}.é
Assim
e^{-s}\approx 1 - 0{,}014038315 + 0{,}000098162 - 0{,}000000458 \approx 0{,}986059389.
  • Resultado: \displaystyle f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\approx 0{,}986059389.

Passo 4

Calcular f(1) aproveitando relação com f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) e detalhando:
  • Note que \left(\dfrac{1}{4{,}22}\right)^{2}=4\left(\dfrac{1/2}{4{,}22}\right)^{2}. Se chamarmos s o número do passo anterior, então para x=1 o expoente é 4s.
  • Então f(1)=e^{-4s}=\big(e^{-s}\big)^{4}=\big(f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\big)^{4}.
  • Usando f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\approx 0{,}986059389, elevamos ao quarto:
    • Primeiro quadrado: \big(0{,}986059389\big)^{2}\approx 0{,}972327 (mostrando a ideia: multiplicamos número por ele mesmo).
    • Em seguida elevamos ao quadrado de novo para obter quarta potência: \big(0{,}986059389\big)^{4}\approx 0{,}945393820.
    • Ou calculando diretamente pela série para e^{-4s} com 4s\approx 0{,}05615326 obtemos o mesmo valor aproximado.
  • Resultado: \displaystyle f(1)\approx 0{,}945393820.

Passo 5

Construir a tabela (x,f(x)) com as casas decimais apropriadas (usei várias casas nos cálculos e agora escolho quantas mostrar):
  • A tabela dos pontos pedidos é \begin{array}{c|c} x & f(x)\\hline 0 & 1\\[4pt] \tfrac{1}{2} & 0{,}986059389\\[4pt] 1 & 0{,}945393820 \end{array}
  • Observação sobre casas decimais necessárias: guardei valores com 9 casas decimais para f(\tfrac{1}{2}) e f(1). Mais adiante vamos ver que, ao combinar esses valores na regra numérica, truncar/arrotondar para 6 casas decimais já deixa o resultado da integral inalterado até a casa 10^{-6}, então 6 casas decimais são suficientes para a aproximação pedida na maioria das provas.]

Passo 6

Escolha do método numérico (por que Simpson) e explicação didática da fórmula:
  • Temos três pontos igualmente espaçados em [0,1]: x_{0}=0, x_{1}=\tfrac{1}{2}, x_{2}=1. O passo h entre pontos é h=\frac{1-0}{2}=\tfrac{1}{2}=0{,}5.
  • A regra de Simpson para n=2 subintervalos (que usa os três pontos) aproxima a integral por \int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f(x_{0}) + 4f(x_{1}) + f(x_{2})\Big).Explicando as letras:
    • a e b são os limites de integração ( a=0, b=1);
    • h é o tamanho de cada subintervalo ( h=(b-a)/2);
    • f(x_{0}),f(x_{1}),f(x_{2}) são os valores da função nos pontos.
  • Por que usar Simpson? Porque com três pontos igualmente espaçados é a fórmula que geralmente dá maior precisão (é baseada em aproximar f por uma parábola que passa pelos três pontos) e é simples de aplicar na prova.

Passo 7

Aplicar a regra de Simpson com os valores calculados (contas passo a passo):
  • Primeiro calcule a combinação f(x_{0}) + 4f(x_{1}) + f(x_{2}): f(0) + 4f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) + f(1) = 1 + 4\cdot 0{,}986059389 + 0{,}945393820.
  • Multiplicar: 4\cdot 0{,}986059389 = 3{,}944237556.
  • Somar todos: 1 + 3{,}944237556 + 0{,}945393820 = 5{,}889631376.
  • Agora multiplicar por h/3. Como h=0{,}5, \frac{h}{3}=\frac{0{,}5}{3}=\frac{1}{6}\approx 0{,}1666666667.
  • Finalmente a aproximação: \int_{0}^{1} f(x)\,dx \approx \frac{1}{6}\cdot 5{,}889631376 \approx 0{,}9816052293.

Passo 8

Verificação rápida da sensibilidade às casas decimais (para decidir quantas casas eram necessárias):
  • Se usarmos valores arredondados a 6 casas decimais: f(\tfrac{1}{2})=0{,}986059 e f(1)=0{,}945394, 1 + 4\cdot 0{,}986059 + 0{,}945394 = 5{,}88963,
\frac{1}{6}\cdot 5{,}88963 = 0{,}981605.
  • A diferença entre o resultado com 9 casas decimais e com 6 casas decimais é da ordem de 10^{-7} a 10^{-6}, ou seja, muito pequena para a maioria das aplicações de prova. Portanto as 6 casas decimais nos valores de f são suficientes para garantir a integral com precisão até pelo menos 10^{-6}. (Resumindo: a tabela com 6 casas decimais já fornece a precisão necessária; usei mais casas nos cálculos intermediários para segurança.)

Passo 9

Comentário breve sobre erro e conclusão:
  • A regra de Simpson tem erro que depende da quarta derivada de f e de h^{4}. Aqui f é uma função exponencial muito suave e h é pequeno ( 0{,}5), então o erro é muito pequeno. A verificação numérica da sensibilidade às casas decimais mostrou que a aproximação é estável até a sexta casa decimal.
  • Conclusão numérica final (já calculada no passo 7): a integral aproximada é \approx 0{,}9816052293. Vou colocar uma versão arredondada apropriada na resposta final.

Resposta

Tabela: (0,\,1), \left(\tfrac{1}{2},\,0{,}986059389\right), (1,\,0{,}945393820)
Aproximação da integral: \displaystyle 0{,}9816052293

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