Para encontrar uma aproximação para a integral
na qual
, siga este procedimento:
Aproxime a integral de
pela integral de
.
Aproxime a integral de
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado\n
- Queremos aproximar a integral
onde .\n - O procedimento pedido é aproximar a integral de
pela integral de um polinômio de grau 2, chamado aqui de .\n - Portanto a tarefa é: construir um polinômio
de grau 2 que aproxime no intervalo e calcular . Nada mais foi pedido explicitamente.
Passo 2
Escolha do método e por quê (explicação clara e amigável)\n
- Uma escolha natural e simples para obter
é usar o polinômio de Taylor de ordem 2 de centrado em (também chamado de série de Maclaurin truncada). Isso é ótimo quando a integral é sobre um intervalo que contém o ponto de expansão (aqui ) e quando é suave (o que é o caso de ).\n - Vantagem prática: o polinômio de grau 2 tem coeficientes dados pelas derivadas de ordem até 2 de
avaliadas em ; é rápido de calcular e integrável à mão na prova.\n - Vou, portanto, construir
como o polinômio de Taylor de ordem 2 de em .
Passo 3
Calcular as derivadas necessárias de
e avaliar em
. (Explicando cada fórmula e o que cada termo significa)\n
- Para facilitar a escrita, defino
. Então .\n - Primeiro,
. Substituindo temos .\n - Derivada primeira: uso a regra da cadeia. Se
com , então . Aqui . Logo\n
Avaliando em
dá
(porque há o fator
).\n
- Derivada segunda: derivamos
. Usa-se produto/regra da cadeia; um jeito prático é escrever\n
Avaliando em
obtemos\n
- Resumo das avaliações em
: , , .
Passo 4
Construir o polinômio de Taylor de grau 2 (mostrando a fórmula e o porquê)\n
- A fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em
(Maclaurin) é\n - Substituindo as avaliações do passo anterior temos\n
- Lembrando que
e calculando temos . Portanto\n
Passo 5
Integrar
no intervalo
passo a passo\n
- Integramos termo a termo. A integral é\n
- Integrando:
e . Então\n - Substituindo
obtemos a expressão numérica\n - Calculando numericamente (fazendo a divisão com aproximação manual razoável) temos\n
Passo 6
Estimar o erro da aproximação (porque é legal saber se deu pra confiar) — explicando a ideia do resto de Taylor de forma simples\n
- O resto de Taylor de ordem 2 em torno de
para um ponto pode ser escrito (forma de Lagrange) como\n
para algum
entre
e
. Isso significa que o erro local ao aproximar
por
é controlado por a terceira derivada de
numa posição intermediária.\n
- Então um limite para o erro da integral é\n
- Calcula-se
e , então o fator integral vira . Assim\n - Calculamos (outra vez com produto/regra da cadeia) a terceira derivada e simplificamos; o resultado é\n
- Para
temos e . Assim uma cota simples é\n - Calculando
. Então . Portanto\n - Conclusão: o erro da aproximação pela integral de
é menor que cerca de . Isso significa que a aproximação está correta com erro bem pequeno para uso em prova.