Para encontrar uma aproximação para a integral
\int_{0}^{1} f(x) d x na qual f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4.22}\right)^{2}}, siga este procedimento:
Aproxime a integral de f(x) pela integral de p_{2}(x).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado\n
  • Queremos aproximar a integral \int_{0}^{1} f(x)\,dx onde f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4,22}\right)^{2}}.\n
  • O procedimento pedido é aproximar a integral de f pela integral de um polinômio de grau 2, chamado aqui de p_{2}(x).\n
  • Portanto a tarefa é: construir um polinômio p_{2}(x) de grau 2 que aproxime f(x) no intervalo [0,1] e calcular \int_{0}^{1} p_{2}(x)\,dx. Nada mais foi pedido explicitamente.

Passo 2

Escolha do método e por quê (explicação clara e amigável)\n
  • Uma escolha natural e simples para obter p_{2}(x) é usar o polinômio de Taylor de ordem 2 de f centrado em 0 (também chamado de série de Maclaurin truncada). Isso é ótimo quando a integral é sobre um intervalo que contém o ponto de expansão (aqui 0) e quando f é suave (o que é o caso de e^{-\text{(algo)}}).\n
  • Vantagem prática: o polinômio de grau 2 tem coeficientes dados pelas derivadas de ordem até 2 de f avaliadas em 0; é rápido de calcular e integrável à mão na prova.\n
  • Vou, portanto, construir p_{2}(x) como o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em 0.

Passo 3

Calcular as derivadas necessárias de f e avaliar em 0. (Explicando cada fórmula e o que cada termo significa)\n
  • Para facilitar a escrita, defino a=4,22. Então f(x)=e^{-\left(\frac{x}{a}\right)^{2}} = e^{-x^{2}/a^{2}}.\n
  • Primeiro, f(0). Substituindo x=0 temos f(0)=e^{0}=1.\n
  • Derivada primeira: uso a regra da cadeia. Se f(x)=e^{u(x)} com u(x)=-x^{2}/a^{2}, então f'(x)=u'(x)e^{u(x)}. Aqui u'(x)=-2x/a^{2}. Logo\n f'(x)=\left(-\frac{2x}{a^{2}}\right)e^{-x^{2}/a^{2}}.
Avaliando em 0 f'(0)=0 (porque há o fator x).\n
  • Derivada segunda: derivamos f'(x). Usa-se produto/regra da cadeia; um jeito prático é escrever\n f''(x)=e^{-x^{2}/a^{2}}\left(-\frac{2}{a^{2}}+\frac{4x^{2}}{a^{4}}\right).
Avaliando em 0 obtemos\n f''(0)= -\frac{2}{a^{2}}.
  • Resumo das avaliações em 0: f(0)=1, f'(0)=0, f''(0)=-\dfrac{2}{a^{2}}.

Passo 4

Construir o polinômio de Taylor de grau 2 (mostrando a fórmula e o porquê)\n
  • A fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em 0 (Maclaurin) é\n p_{2}(x)=f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2}\,x^{2}.
  • Substituindo as avaliações do passo anterior temos\n p_{2}(x)=1+0\cdot x+\frac{-\frac{2}{a^{2}}}{2}\,x^{2}=1-\frac{1}{a^{2}}x^{2}.
  • Lembrando que a=4,22 e calculando a^{2} temos a^{2}=4{,}22^{2}=17{,}8084. Portanto\n p_{2}(x)=1-\frac{x^{2}}{17{,}8084}.

Passo 5

Integrar p_{2}(x) no intervalo [0,1] passo a passo\n
  • Integramos termo a termo. A integral é\n \int_{0}^{1}p_{2}(x)\,dx=\int_{0}^{1}\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)\,dx.
  • Integrando: \int_{0}^{1}1\,dx=[x]_{0}^{1}=1 e \int_{0}^{1}x^{2}\,dx=[x^{3}/3]_{0}^{1}=1/3. Então\n \int_{0}^{1}p_{2}(x)\,dx=1-\frac{1}{a^{2}}\cdot\frac{1}{3}=1-\frac{1}{3a^{2}}.
  • Substituindo a^{2}=17{,}8084 obtemos a expressão numérica\n \int_{0}^{1}p_{2}(x)\,dx=1-\frac{1}{3\cdot 17{,}8084}=1-\frac{1}{53{,}4252}.
  • Calculando numericamente (fazendo a divisão com aproximação manual razoável) temos\n \int_{0}^{1}p_{2}(x)\,dx\approx 0{,}98129.

Passo 6

Estimar o erro da aproximação (porque é legal saber se deu pra confiar) — explicando a ideia do resto de Taylor de forma simples\n
  • O resto de Taylor de ordem 2 em torno de 0 para um ponto x pode ser escrito (forma de Lagrange) como\n R_{2}(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}x^{3}
para algum \xi entre 0 e x. Isso significa que o erro local ao aproximar f(x) por p_{2}(x) é controlado por a terceira derivada de f numa posição intermediária.\n
  • Então um limite para o erro da integral é\n \left|\int_{0}^{1}\bigl(f(x)-p_{2}(x)\bigr)\,dx\right|\le \int_{0}^{1}\left|R_{2}(x)\right|\,dx \le \max_{t\in[0,1]}|f^{(3)}(t)|\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{3!}\,dx.
  • Calcula-se \int_{0}^{1}x^{3}\,dx=1/4 e 3!=6, então o fator integral vira 1/(6\cdot 4)=1/24. Assim\n \text{Erro} \le \frac{1}{24}\max_{t\in[0,1]}|f^{(3)}(t)|.
  • Calculamos (outra vez com produto/regra da cadeia) a terceira derivada e simplificamos; o resultado é\n f^{(3)}(x)=e^{-x^{2}/a^{2}}\cdot\frac{4x}{a^{6}}\bigl(3a^{2}-2x^{2}\bigr).
  • Para x\in[0,1] temos e^{-x^{2}/a^{2}}\le 1 e 3a^{2}-2x^{2}\le 3a^{2}. Assim uma cota simples é\n |f^{(3)}(x)|\le \frac{4x}{a^{6}}\cdot 3a^{2}=\frac{12x}{a^{4}}\le \frac{12}{a^{4}}.
  • Calculando a^{4}=(a^{2})^{2}=17{,}8084^{2}\approx 317{,}13907. Então \dfrac{12}{a^{4}}\approx 0{,}03785. Portanto\n \text{Erro}\le \frac{1}{24}\cdot 0{,}03785\approx 0{,}00158.
  • Conclusão: o erro da aproximação pela integral de p_{2} é menor que cerca de 0{,}0016. Isso significa que a aproximação \approx 0{,}98129 está correta com erro bem pequeno para uso em prova.

Resposta

0,98129

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