Para encontrar uma aproximação para a integral \int_{0}^{1} f(x) d x na qual f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4.22}\right)^{2}}, siga este procedimento:
Use M na fórmula do termo do erro para determinar um limitante superior para \left|R_{2}(x)\right| nesse mesmo intervalo;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
Pede: usar M na fórmula do termo do erro para determinar um limitante superior para \left|R_{2}(x)\right| no intervalo [0,1].
Dados relevantes: a função é \displaystyle f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4,22}\right)^{2}}.
Intervalo em que queremos o limitante: [0,1].
Não vou resolver ainda, só registrei o pedido e os dados.
Passo 2
Qual fórmula de erro vamos usar e o que significa M:
Ao aproximar uma função por polinômio de Taylor centrado em 0 (desenvolvimento em torno de 0) de grau 2, o resto na forma de Lagrange é
R_{2}(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,x^{3}
para algum \xi entre 0 e x. Isso significa que, para todo x em [0,1],
\left|R_{2}(x)\right|\le \frac{M}{3!}\,|x|^{3},
onde M é um limitante superior de |f^{(3)}(t)| para t\in[0,1], isto é,
M\ge \max_{t\in[0,1]} |f^{(3)}(t)|.
Explicando em miúdos: precisamos estimar (ou escolher) um M fácil de calcular que satisfaça essa desigualdade; então substituímos na expressão acima para obter o limitante do erro.
Passo 3
Simplificar a função usando uma constante e calcular as derivadas até a terceira:
Defino
a=\frac{1}{(4,22)^{2}}.
Assim \displaystyle f(x)=e^{-a x^{2}}. Agora calculo as derivadas (vou mostrar os passos algébricos):
Escolher M fazendo uma estimativa simples (e segura) de |f^{(3)}(x)| em [0,1]:
Para x\in[0,1] temos e^{-a x^{2}}\le 1 e x\le 1. Além disso 3-2a x^{2}\le 3 (porque 2a x^{2}\ge 0). Assim, tomando valor absoluto,
que satisfaz M\ge \max_{t\in[0,1]}|f^{(3)}(t)|. (Essa escolha é simples e suficientemente conservadora; daria um M possivelmente não exatamente mínimo, mas fácil de calcular e correta.)]
Passo 5
Substituir M na fórmula do resto e obter o limitante para |R_{2}(x)| no intervalo [0,1]:
Usando \left|R_{2}(x)\right|\le \dfrac{M}{3!}\,|x|^{3} e 3!=6, temos
Interpretando: para qualquer x\in[0,1] temos \left|R_{2}(x)\right|\le 2a^{2}\approx 0,0062985. Se quiser o bound não uniforme (dependendo de x), vale \left|R_{2}(x)\right|\le 2a^{2}x^{3}.
Resposta
\displaystyle \left|R_{2}(x)\right|\le 2a^{2}x^{3}, onde a=\dfrac{1}{(4,22)^{2}}.
Para todo x\in[0,1] então \displaystyle \left|R_{2}(x)\right|\le 2a^{2}\approx 0,0062985.