Para encontrar uma aproximação para a integral
\int_{0}^{1} f(x) d x na qual f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4.22}\right)^{2}}, siga este procedimento:
Use M na fórmula do termo do erro para determinar um limitante superior para \left|R_{2}(x)\right| nesse mesmo intervalo;

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede: usar M na fórmula do termo do erro para determinar um limitante superior para \left|R_{2}(x)\right| no intervalo [0,1].
  • Dados relevantes: a função é \displaystyle f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4,22}\right)^{2}}.
  • Intervalo em que queremos o limitante: [0,1].
    Não vou resolver ainda, só registrei o pedido e os dados.

Passo 2

Qual fórmula de erro vamos usar e o que significa M:
  • Ao aproximar uma função por polinômio de Taylor centrado em 0 (desenvolvimento em torno de 0) de grau 2, o resto na forma de Lagrange é
R_{2}(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,x^{3}
para algum \xi entre 0 e x. Isso significa que, para todo x em [0,1],
\left|R_{2}(x)\right|\le \frac{M}{3!}\,|x|^{3},
onde M é um limitante superior de |f^{(3)}(t)| para t\in[0,1], isto é,
M\ge \max_{t\in[0,1]} |f^{(3)}(t)|.
Explicando em miúdos: precisamos estimar (ou escolher) um M fácil de calcular que satisfaça essa desigualdade; então substituímos na expressão acima para obter o limitante do erro.

Passo 3

Simplificar a função usando uma constante e calcular as derivadas até a terceira:
  • Defino
a=\frac{1}{(4,22)^{2}}.
Assim \displaystyle f(x)=e^{-a x^{2}}. Agora calculo as derivadas (vou mostrar os passos algébricos):
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{-a x^{2}}=-2a x\,e^{-a x^{2}}.
f''(x)=\frac{d}{dx}\big(-2a x\,e^{-a x^{2}}\big)=-2a\,e^{-a x^{2}}+(-2a x)(-2a x)e^{-a x^{2}}=\big(-2a+4a^{2}x^{2}\big)e^{-a x^{2}}.
Agora a terceira derivada:
\begin{aligned} f^{(3)}(x)&=\frac{d}{dx}\Big(\big(-2a+4a^{2}x^{2}\big)e^{-a x^{2}}\Big)\\[4pt] &=\big(8a^{2}x\big)e^{-a x^{2}}+\big(-2a+4a^{2}x^{2}\big)\big(-2a x\big)e^{-a x^{2}}\\[4pt] &=e^{-a x^{2}}\big(8a^{2}x +4a^{2}x -8a^{3}x^{3}\big)\\[4pt] &=e^{-a x^{2}}\big(12a^{2}x -8a^{3}x^{3}\big)\\[4pt] &=4a^{2}x\big(3-2a x^{2}\big)e^{-a x^{2}}. \end{aligned}]

Passo 4

Escolher M fazendo uma estimativa simples (e segura) de |f^{(3)}(x)| em [0,1]:
Para x\in[0,1] temos e^{-a x^{2}}\le 1 e x\le 1. Além disso 3-2a x^{2}\le 3 (porque 2a x^{2}\ge 0). Assim, tomando valor absoluto,
\begin{aligned} |f^{(3)}(x)|&=4a^{2}x\big|3-2a x^{2}\big|e^{-a x^{2}}\\[4pt] &\le 4a^{2}\cdot 1 \cdot 3 \cdot 1 =12a^{2}. \end{aligned}
Logo podemos escolher
M=12a^{2},
que satisfaz M\ge \max_{t\in[0,1]}|f^{(3)}(t)|. (Essa escolha é simples e suficientemente conservadora; daria um M possivelmente não exatamente mínimo, mas fácil de calcular e correta.)]

Passo 5

Substituir M na fórmula do resto e obter o limitante para |R_{2}(x)| no intervalo [0,1]:
Usando \left|R_{2}(x)\right|\le \dfrac{M}{3!}\,|x|^{3} e 3!=6, temos
\left|R_{2}(x)\right|\le \frac{12a^{2}}{6}\,x^{3}=2a^{2}x^{3}.
Como x^{3}\le 1 em [0,1], um limitante uniforme (independente de x dentro do intervalo) é
\left|R_{2}(x)\right|\le 2a^{2}\qquad\text{para todo }x\in[0,1].

Passo 6

Avaliar numericamente a e o limitante:
a=\frac{1}{(4,22)^{2}}=\frac{1}{17,8084}\approx 0,056127\qquad\Rightarrow\qquad a^{2}\approx 0,0031493.
Portanto
2a^{2}\approx 2\cdot 0,0031493\approx 0,0062985.
Interpretando: para qualquer x\in[0,1] temos \left|R_{2}(x)\right|\le 2a^{2}\approx 0,0062985. Se quiser o bound não uniforme (dependendo de x), vale \left|R_{2}(x)\right|\le 2a^{2}x^{3}.

Resposta

\displaystyle \left|R_{2}(x)\right|\le 2a^{2}x^{3}, onde a=\dfrac{1}{(4,22)^{2}}.
Para todo x\in[0,1] então \displaystyle \left|R_{2}(x)\right|\le 2a^{2}\approx 0,0062985.

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