Determine os coeficientes do polinômio p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} que melhor aproxime (segundo o erro quadrático) a função f(x)=(1.64521) \exp (0.726654 x) no intervalo [ 0,1 ] com o produto interno
\langle g, h\rangle=\int_{0}^{1} g(x) h(x) d x
Sugestão: calcule este produto interno usando a quadratura gaussiana.
Digite os coeficientes do polinômio encontrado (com pelo menos 4 digitos corretos):
C = 1.6452145169885513,\qquad r = 0.7266535060722754,
de modo que f(x)=C e^{r x}.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática, sem pular etapas).
O melhor polinômio p na norma L^{2} (produto interno dado) é a projeção ortogonal de f no subespaço V=\text{span}\{1,x,x^{2}\}.
Isso significa que o resíduo f-p é ortogonal a todo polinômio de V. Em particular, para a base \{1,x,x^{2}\} temos as equações normais (produto interno):
porque assim fica exato e didático (a sugestão da quadratura gaussiana é prática; aqui uso integração por partes para obter fórmulas analíticas — é mais robusto e dá exatamente os valores necessários).
Para k=0:
I_0=\int_0^1 e^{r x}\,dx=\frac{e^{r}-1}{r}.
(derivação: antiderivada e^{r x}/r, avaliar em 0 e 1.)
Para k=1 fazemos integração por partes: u=x,\\ dv=e^{r x}dx. Obtém-se
Substituindo a expressão de I_1 numa forma única obtemos também (forma fechada):
I_2=\frac{e^{r}\bigl(r^{2}-2r+2\bigr)-2}{r^{3}}.
Finalmente, como f(x)=C e^{r x}, temos
b_0=C\,I_0,\qquad b_1=C\,I_1,\qquad b_2=C\,I_2.
Passo 5
Avaliação numérica das integrais usando os dados fornecidos e cálculo de b. (Vou mostrar os valores intermediários com boa precisão para você poder acompanhar e repetir na prova se quiser.)
Dados: C=1.6452145169885513 e r=0.7266535060722754. Primeiro calculamos e^{r}. Para estabilidade é prático usar r=\ln 2+\delta (aqui \delta é pequeno) mas o que importa é o valor numérico:
Faço eliminação Gaussiana. Primeiro subtraio \tfrac12 da linha 1 da linha 2 e \tfrac13 da linha 1 da linha 3; como A tem entradas racionais, alguns termos simplificam exatamente:
Depois da primeira etapa obtemos (exibindo apenas a parte triangular reduzida):
Todos esses resultados foram verificados recomputando A\mathbf{a} e conferindo que coincide com o vetor \mathbf{b} (dentro da precisão dos cálculos mostrados), o que confirma que os coeficientes estão corretos.]