Para encontrar uma aproximação para a integral
na qual
, siga este procedimento:
Calcule
e determine o valor máximo
do módulo dessa derivada no intervalo
;
Calcule
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) calcular a terceira derivada
da função
e (ii) determinar o máximo
do módulo dessa terceira derivada no intervalo
.
Informações dadas que vamos usar: a constante (vou chamar de
para simplificar), o intervalo
e a função
.
Informações dadas que vamos usar: a constante
Passo 2
Primeiro, organizo a notação para facilitar as derivadas. Defino
Assim
. Vou usar a regra da cadeia: se
, então
Calculo
: como
, temos
Logo
Passo 3
Agora calculo a segunda derivada
. Vou derivar
usando a regra do produto (derivada de
é
). Tome
. Então
Aplicando:
Substituindo
:
Passo 4
Agora a terceira derivada
. Parto de
Novamente uso a regra do produto: se
com
, então
Calculo
e uso
:
Agora computo a combinação:
Desenvolvendo os termos no parêntese:
Portanto
Fatorando
:
Assim, a terceira derivada fica
Passo 5
Agora precisamos do máximo do módulo de
em
. Primeiro observo sinais e fatores:
para todo
. No intervalo
temos
. Verifico o fator
: com
temos
portanto para
vale
. Conclusão: em
a expressão de
é positiva, e em
vale
. Assim
em
e o máximo ocorre onde
for máximo.
Passo 6
Para assegurar onde ocorre o máximo, considero a função
pois
com fator positivo
. Zeros de
dão possíveis extremos internos. Calculo
(uso o mesmo procedimento do Passo 4) e chego à condição
Colocando
obtém-se a equação quadrática
As raízes são
Numericamente, com
, as duas raízes
são aproximadamente
e
. Ambas correspondem a
maiores que
. Portanto não existem pontos críticos internos em
. Como
e
é contínua e positiva para
em
, e não tem extremos internos,
(e logo
) é crescente em
. Assim o máximo ocorre no endpoint
.
Passo 7
Calculo
numericamente. Substituindo
e
em
obtenho os passos numéricos:
Assim