Para encontrar uma aproximação para a integral
\int_{0}^{1} f(x) d x na qual f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4.22}\right)^{2}}, siga este procedimento:
Calcule f^{(3)}(x) e determine o valor máximo M do módulo dessa derivada no intervalo [\mathbf{0}, \mathbf{1}];

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) calcular a terceira derivada f^{(3)}(x) da função
f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4{,}22}\right)^{2}}
e (ii) determinar o máximo M do módulo dessa terceira derivada no intervalo [0,1].
Informações dadas que vamos usar: a constante 4{,}22 (vou chamar de a para simplificar), o intervalo [0,1] e a função f(x)=e^{-(x/a)^2}.

Passo 2

Primeiro, organizo a notação para facilitar as derivadas. Defino
a=4{,}22,\qquad u(x)=\left(\frac{x}{a}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{a^{2}}.
Assim f(x)=e^{-u(x)}. Vou usar a regra da cadeia: se f(x)=e^{-u(x)}, então
f'(x) = -u'(x)\,e^{-u(x)}.
Calculo u'(x): como u(x)=x^{2}/a^{2}, temos
u'(x)=\frac{2x}{a^{2}}.
Logo
f'(x) = -\frac{2x}{a^{2}}\,e^{-u(x)}.

Passo 3

Agora calculo a segunda derivada f''(x). Vou derivar f'(x)= -\dfrac{2x}{a^{2}} e^{-u(x)} usando a regra do produto (derivada de p(x)e^{-u(x)} é p'(x)e^{-u(x)} + p(x)\cdot(-u'(x))e^{-u(x)}). Tome p(x)=-\dfrac{2x}{a^{2}}. Então
p'(x)=-\frac{2}{a^{2}}.
Aplicando:
f''(x)=\left(-\frac{2}{a^{2}}\right)e^{-u(x)} + \left(-\frac{2x}{a^{2}}\right)\left(-u'(x)\right)e^{-u(x)}.
Substituindo u'(x)=\dfrac{2x}{a^{2}}:
f''(x)=\left(-\frac{2}{a^{2}} + \frac{4x^{2}}{a^{4}}\right)e^{-u(x)}.

Passo 4

Agora a terceira derivada f^{(3)}(x). Parto de
f''(x)=\left(-\frac{2}{a^{2}} + \frac{4x^{2}}{a^{4}}\right)e^{-u(x)}.
Novamente uso a regra do produto: se f''(x)=g(x)e^{-u(x)} com g(x)=-\dfrac{2}{a^{2}}+\dfrac{4x^{2}}{a^{4}}, então
f^{(3)}(x)=g'(x)e^{-u(x)} + g(x)\cdot(-u'(x))e^{-u(x)} = e^{-u(x)}\bigl(g'(x)-g(x)u'(x)\bigr).
Calculo g'(x) e uso u'(x)=\dfrac{2x}{a^{2}}:
g'(x)=\frac{8x}{a^{4}}.
Agora computo a combinação:
g'(x)-g(x)u'(x)=\frac{8x}{a^{4}}-\left(-\frac{2}{a^{2}}+\frac{4x^{2}}{a^{4}}\right)\frac{2x}{a^{2}}.
Desenvolvendo os termos no parêntese:
\left(-\frac{2}{a^{2}}+\frac{4x^{2}}{a^{4}}\right)\frac{2x}{a^{2}} = -\frac{4x}{a^{4}} + \frac{8x^{3}}{a^{6}}.
Portanto
g'(x)-g(x)u'(x)=\frac{8x}{a^{4}} -\left(-\frac{4x}{a^{4}} + \frac{8x^{3}}{a^{6}}\right) = \frac{12x}{a^{4}} - \frac{8x^{3}}{a^{6}}.
Fatorando 4x/a^{6}:
\frac{12x}{a^{4}} - \frac{8x^{3}}{a^{6}} = \frac{4x}{a^{6}}\bigl(3a^{2}-2x^{2}\bigr).
Assim, a terceira derivada fica
f^{(3)}(x)=\frac{4x\bigl(3a^{2}-2x^{2}\bigr)}{a^{6}}\,e^{-u(x)} =\frac{4x\bigl(3a^{2}-2x^{2}\bigr)}{a^{6}}\,e^{-x^{2}/a^{2}}.

Passo 5

Agora precisamos do máximo do módulo de f^{(3)}(x) em [0,1]. Primeiro observo sinais e fatores: e^{-x^{2}/a^{2}}>0 para todo x. No intervalo [0,1] temos x\ge 0. Verifico o fator (3a^{2}-2x^{2}): com a=4{,}22 temos
3a^{2}=3\cdot(4{,}22)^{2}=3\cdot 17{,}8084 \approx 53{,}4252,
portanto para x\in[0,1] vale 3a^{2}-2x^{2}\ge 3a^{2}-2\approx 51{,}4252>0. Conclusão: em (0,1] a expressão de f^{(3)}(x) é positiva, e em x=0 vale f^{(3)}(0)=0. Assim |f^{(3)}(x)|=f^{(3)}(x) em [0,1] e o máximo ocorre onde f^{(3)}(x) for máximo.

Passo 6

Para assegurar onde ocorre o máximo, considero a função
s(x)=x(3a^{2}-2x^{2})e^{-x^{2}/a^{2}},
pois f^{(3)}(x)=\dfrac{4}{a^{6}}\,s(x) com fator positivo \dfrac{4}{a^{6}}. Zeros de s'(x) dão possíveis extremos internos. Calculo s'(x) (uso o mesmo procedimento do Passo 4) e chego à condição
s'(x)=0 \iff 3a^{4}-12a^{2}x^{2}+4x^{4}=0.
Colocando y=x^{2} obtém-se a equação quadrática
4y^{2}-12a^{2}y+3a^{4}=0.
As raízes são
y=\frac{12a^{2}\pm a^{2}\sqrt{96}}{8}=a^{2}\frac{12\pm\sqrt{96}}{8}.
Numericamente, com a^{2}\approx 17{,}8084, as duas raízes y são aproximadamente y\approx 17{,}8084\cdot 2{,}7247\approx 48{,}5 e y\approx 17{,}8084\cdot 0{,}2753\approx 4{,}90. Ambas correspondem a x=\sqrt{y} maiores que 1. Portanto não existem pontos críticos internos em (0,1). Como s(0)=0 e s é contínua e positiva para x>0 em [0,1], e não tem extremos internos, s (e logo f^{(3)}) é crescente em [0,1]. Assim o máximo ocorre no endpoint x=1.

Passo 7

Calculo f^{(3)}(1) numericamente. Substituindo x=1 e a=4{,}22 em
f^{(3)}(x)=\frac{4x(3a^{2}-2x^{2})}{a^{6}}\,e^{-x^{2}/a^{2}},
obtenho os passos numéricos:
a^{2}=(4{,}22)^{2}=17{,}8084,
a^{6}\approx (a^{2})^{3}\approx 17{,}8084^{3}\approx 5647{,}7401365,
4\cdot 1\cdot(3a^{2}-2)=4\bigl(3\cdot 17{,}8084-2\bigr)=4\cdot 51{,}4252=205{,}7008,
e^{-1/a^{2}}=e^{-1/17{,}8084}\approx e^{-0{,}056155}\approx 0{,}945392.
Assim
f^{(3)}(1)\approx \frac{205{,}7008}{5647{,}7401365}\cdot 0{,}945392 \approx 0{,}0344329\ldots

Resposta

f^{(3)}(x)=\frac{4x\bigl(3(4{,}22)^{2}-2x^{2}\bigr)}{(4{,}22)^{6}}\,e^{-x^{2}/(4{,}22)^{2}}
M=\max_{x\in[0,1]}|f^{(3)}(x)|=f^{(3)}(1)\approx 0{,}0344329

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