Para encontrar uma aproximação para a integral \int_{0}^{1} f(x) d x na qual f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4.36}\right)^{2}}, siga este procedimento:
Use M na fórmula do termo do erro para determinar um limitante superior para \left|R_{2}(x)\right| nesse mesmo intervalo;

Passo 1

O que o enunciado pede: usar M na fórmula do termo do erro para determinar um limitante superior para \left|R_{2}(x)\right| no intervalo [0,1].\n
Informações dadas e que vamos usar: a função
f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4{,}36}\right)^{2}},
o intervalo [0,1] e que o resto de Taylor de ordem 2 (forma de Lagrange) satisfaz uma desigualdade com uma constante M tal que |R_2(x)| \le \dfrac{M|x|^{3}}{3!} para algum M\ge \max_{t\in[0,1]}|f^{(3)}(t)|.

Passo 2

Enunciado da forma de Lagrange do resto de Taylor (explicando bem): se expandimos f em torno de 0 até a ordem 2, o resto em ponto x pode ser escrito, para algum \xi entre 0 e x, como
R_2(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}x^{3}.
Isto implica a desigualdade usada em provas e estimativas:
\left|R_2(x)\right|\le \frac{M|x|^{3}}{3!},
onde M é qualquer número tal que
M\ge \max_{t\in[0,1]}\left|f^{(3)}(t)\right|.
Explicando as letras: f^{(3)} é a terceira derivada de f, x é o ponto em que avaliamos o resto (aqui em [0,1]), e 3!=6.

Passo 3

Vamos calcular f^{(1)}, f^{(2)} e f^{(3)} de forma detalhada. Defina a=4{,}36 e note que a^{2}=4{,}36^{2}=19{,}0096. Escrevemos
f(x)=e^{-x^{2}/a^{2}}.
Derivando:
f'(x)=\left(-\frac{2x}{a^{2}}\right)e^{-x^{2}/a^{2}}.
Derivando novamente (produto):
f''(x)=\left(-\frac{2}{a^{2}}\right)e^{-x^{2}/a^{2}}+\left(-\frac{2x}{a^{2}}\right)\left(-\frac{2x}{a^{2}}\right)e^{-x^{2}/a^{2}} = e^{-x^{2}/a^{2}}\left(\frac{4x^{2}}{a^{4}}-\frac{2}{a^{2}}\right).
Agora a terceira derivada (novamente produto + simplificação):
\begin{aligned} f^{(3)}(x) &= \frac{d}{dx}\left[e^{-x^{2}/a^{2}}\left(\frac{4x^{2}}{a^{4}}-\frac{2}{a^{2}}\right)\right] \\\ &= e^{-x^{2}/a^{2}}\left(-\frac{2x}{a^{2}}\right)\left(\frac{4x^{2}}{a^{4}}-\frac{2}{a^{2}}\right) + e^{-x^{2}/a^{2}}\left(\frac{8x}{a^{4}}\right) \\\ &= e^{-x^{2}/a^{2}}\left(\frac{12x}{a^{4}}-\frac{8x^{3}}{a^{6}}\right). \end{aligned}
Podemos fatorar:
f^{(3)}(x)=\frac{4x\,e^{-x^{2}/a^{2}}}{a^{6}}\bigl(3a^{2}-2x^{2}\bigr).

Passo 4

Agora precisamos de um M que domine \left|f^{(3)}(x)\right| em x\in[0,1]. Usamos desigualdades simples e seguras (não precisamos achar o máximo exato): para x\in[0,1] valem
|x|\le 1,\qquad e^{-x^{2}/a^{2}}\le 1,\qquad 3a^{2}-2x^{2}\le 3a^{2}.
Com isso
\left|f^{(3)}(x)\right| \le \frac{4\cdot 1\cdot 1}{a^{6}}\cdot 3a^{2} = \frac{12}{a^{4}}.
Portanto podemos escolher
M=\frac{12}{a^{4}}.
Isto é uma escolha válida (um limitante superior) para \max_{[0,1]}|f^{(3)}(t)|. Note que aqui usamos apenas desigualdades elementares para obter um M simples e seguro.

Passo 5

Aplicando a desigualdade do resto com esse M:
\left|R_2(x)\right|\le \frac{M|x|^{3}}{3!}=\frac{1}{6}\cdot\frac{12}{a^{4}}\,|x|^{3} =\frac{2}{a^{4}}\,|x|^{3}.
Como x\in[0,1] temos |x|^{3}\le 1, logo um limitante uniforme no intervalo é
\left|R_2(x)\right|\le \frac{2}{a^{4}}.
Substituindo a=4{,}36 e a^{4}=4{,}36^{4}=361{,}36489216 (calculado como (4{,}36^{2})^{2}=(19{,}0096)^{2}), obtemos numericamente
\frac{2}{a^{4}}\approx \frac{2}{361{,}36489216}\approx 0{,}0055369.

Resposta

\displaystyle \left|R_{2}(x)\right|\le \frac{2}{4{,}36^{4}}\n
\displaystyle \left|R_{2}(x)\right|\le 0{,}0055369

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