Para encontrar uma aproximação para a integral \int_{0}^{1} f(x) d x na qual f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4.36}\right)^{2}}, siga este procedimento:
Use M na fórmula do termo do erro para determinar um limitante superior para \left|R_{2}(x)\right| nesse mesmo intervalo;
Passo 1
O que o enunciado pede: usar M na fórmula do termo do erro para determinar um limitante superior para \left|R_{2}(x)\right| no intervalo [0,1].\n
Informações dadas e que vamos usar: a função
f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4{,}36}\right)^{2}},
o intervalo [0,1] e que o resto de Taylor de ordem 2 (forma de Lagrange) satisfaz uma desigualdade com uma constante M tal que |R_2(x)| \le \dfrac{M|x|^{3}}{3!} para algum M\ge \max_{t\in[0,1]}|f^{(3)}(t)|.
Passo 2
Enunciado da forma de Lagrange do resto de Taylor (explicando bem): se expandimos f em torno de 0 até a ordem 2, o resto em ponto x pode ser escrito, para algum \xi entre 0 e x, como
R_2(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}x^{3}.
Isto implica a desigualdade usada em provas e estimativas:
\left|R_2(x)\right|\le \frac{M|x|^{3}}{3!},
onde M é qualquer número tal que
M\ge \max_{t\in[0,1]}\left|f^{(3)}(t)\right|.
Explicando as letras: f^{(3)} é a terceira derivada de f, x é o ponto em que avaliamos o resto (aqui em [0,1]), e 3!=6.
Passo 3
Vamos calcular f^{(1)}, f^{(2)} e f^{(3)} de forma detalhada. Defina a=4{,}36 e note que a^{2}=4{,}36^{2}=19{,}0096. Escrevemos
Agora precisamos de um M que domine \left|f^{(3)}(x)\right| em x\in[0,1]. Usamos desigualdades simples e seguras (não precisamos achar o máximo exato): para x\in[0,1] valem
Isto é uma escolha válida (um limitante superior) para \max_{[0,1]}|f^{(3)}(t)|. Note que aqui usamos apenas desigualdades elementares para obter um M simples e seguro.