Para encontrar uma aproximação para a integral \int_{0}^{1} f(x) d x na qual f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4.36}\right)^{2}}, siga este procedimento:
Calcule f^{(3)}(x) e determine o valor máximo M do módulo dessa derivada no intervalo \mathbf{0}, \mathbf{1};

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) calcular a terceira derivada f^{(3)}(x) da função
f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4,36}\right)^{2}} = e^{-\alpha x^{2}},
onde usarei \alpha=\frac{1}{4,36^{2}}; (2) determinar o valor máximo M do módulo dessa derivada no intervalo [0,1], isto é
M=\max_{x\in[0,1]} |f^{(3)}(x)|.
Informações dadas que vamos usar: a constante 4,36 (logo \alpha=\frac{1}{4,36^{2}}) e o intervalo [0,1].

Passo 2

Vou calcular as derivadas passo a passo, usando regras básicas:
  • Regra da cadeia: se g(x)=e^{u(x)} então g'(x)=u'(x)e^{u(x)}.
  • Regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.
Começo reescrevendo \displaystyle f(x)=e^{-\alpha x^{2}} com \alpha=\frac{1}{4,36^{2}}.
Calculemos f'(x). Aplicando a regra da cadeia com u(x)=-\alpha x^{2} e u'(x)=-2\alpha x,
f'(x)=(-2\alpha x)e^{-\alpha x^{2}}.

Passo 3

Agora f''(x). Diferencio f'(x)=-2\alpha x\,e^{-\alpha x^{2}} usando produto (com u(x)=-2\alpha x e v(x)=e^{-\alpha x^{2}}):
u'(x)=-2\alpha,\qquad v'(x)=-2\alpha x e^{-\alpha x^{2}}.
Portanto
f''(x)=u'v+uv' = (-2\alpha)e^{-\alpha x^{2}} + (-2\alpha x)(-2\alpha x)e^{-\alpha x^{2}}.
Fatorando e^{-\alpha x^{2}},
f''(x)=e^{-\alpha x^{2}}\big(-2\alpha + 4\alpha^{2}x^{2}\big).
Também posso reescrever como
f''(x)=2\alpha e^{-\alpha x^{2}}\big(-1 + 2\alpha x^{2}\big).

Passo 4

Agora f^{(3)}(x). Parto de f''(x)=e^{-\alpha x^{2}}(-2\alpha + 4\alpha^{2}x^{2}). Seja g(x)=-2\alpha + 4\alpha^{2}x^{2}. Usando produto:
f^{(3)}(x)=(e^{-\alpha x^{2}})'\,g(x)+e^{-\alpha x^{2}}\,g'(x).
Sabemos (e^{-\alpha x^{2}})'=-2\alpha x e^{-\alpha x^{2}} e g'(x)=8\alpha^{2}x. Assim
f^{(3)}(x)=-2\alpha x e^{-\alpha x^{2}}\,g(x)+e^{-\alpha x^{2}}(8\alpha^{2}x).
Fatorando e^{-\alpha x^{2}} e x,
f^{(3)}(x)=e^{-\alpha x^{2}}\,x\big(-2\alpha g(x)+8\alpha^{2}\big).
Calculemos -2\alpha g(x)+8\alpha^{2}:
-2\alpha g(x)=-2\alpha(-2\alpha+4\alpha^{2}x^{2})=4\alpha^{2}-8\alpha^{3}x^{2},
logo
-2\alpha g(x)+8\alpha^{2}=4\alpha^{2}-8\alpha^{3}x^{2}+8\alpha^{2}=12\alpha^{2}-8\alpha^{3}x^{2}=4\alpha^{2}(3-2\alpha x^{2}).
Substituindo de volta,
\boxed{\,f^{(3)}(x)=4\alpha^{2}x(3-2\alpha x^{2})e^{-\alpha x^{2}}\,}.

Passo 5

Volto à constante \alpha=\dfrac{1}{4,36^{2}}. Podemos escrever f^{(3)}(x) em termos de 4,36:
f^{(3)}(x)=\frac{4x}{4,36^{4}}\Bigl(3-\frac{2x^{2}}{4,36^{2}}\Bigr)\exp\!\Bigl(-\frac{x^{2}}{4,36^{2}}\Bigr).
Isto é algebraicamente igual à fórmula com \alpha, só explícita em 4,36.

Passo 6

Queremos M=\max_{x\in[0,1]}|f^{(3)}(x)|. Observações úteis para simplificar:
  • No intervalo [0,1] temos x\ge 0, então x não muda sinal.
  • Calcule \alpha=\dfrac{1}{4,36^{2}}. Como 4,36^{2}=19,0096, tem-se
\alpha=\dfrac{1}{19,0096}\approx 0,052605002.
  • Para x\in[0,1], 2\alpha x^{2}\le 2\alpha<2\cdot0,05261\approx0,1053\ll 3. Assim o fator 3-2\alpha x^{2} é positivo em todo o intervalo, logo f^{(3)}(x)\ge 0 para x\in[0,1]. Portanto
|f^{(3)}(x)|=f^{(3)}(x)\quad\text{em }[0,1].
Para encontrar máximo de f^{(3)} em [0,1] basta encontrar máximo de
h(x)=x(3-2\alpha x^{2})e^{-\alpha x^{2}}
(já que f^{(3)}(x)=4\alpha^{2}h(x) com constante positiva 4\alpha^{2}). Calculo h'(x) para ver onde está o máximo:
usando produto com u(x)=3x-2\alpha x^{3} e v(x)=e^{-\alpha x^{2}},
h'(x)=e^{-\alpha x^{2}}\bigl(3-6\alpha x^{2}\bigr)+ (3x-2\alpha x^{3})(-2\alpha x)e^{-\alpha x^{2}}.
Fatorando e^{-\alpha x^{2}} e simplificando obtemos
h'(x)=e^{-\alpha x^{2}}\bigl(3-12\alpha x^{2}+4\alpha^{2}x^{4}\bigr).
Seja y=x^{2}. A raiz da expressão entre parênteses satisfaz
4\alpha^{2}y^{2}-12\alpha y+3=0,
cujas soluções são
y=\frac{3\pm\sqrt{6}}{2\alpha}.
Com \alpha\approx0,052605 ambas as soluções dão y>1 (valores aproximadamente y\approx 5,23 e y\approx 51,8), portanto para y\in[0,1] (ou seja x\in[0,1]) a expressão 3-12\alpha x^{2}+4\alpha^{2}x^{4} é positiva. Assim h'(x)>0 em [0,1], o que significa que h (e portanto f^{(3)}) é crescente em [0,1].
Conclusão: o máximo de |f^{(3)}(x)| em [0,1] ocorre em x=1. Logo
M=|f^{(3)}(1)|=f^{(3)}(1)=4\alpha^{2}\cdot 1\cdot(3-2\alpha)\,e^{-\alpha}.

Passo 7

Agora calculo numericamente M. Já tenho \alpha=\dfrac{1}{4,36^{2}}=\dfrac{1}{19,0096}\approx 0,052605002. Então
\alpha^{2}\approx 0,002767286025,
4\alpha^{2}\approx 0,0110691441,
3-2\alpha\approx 3-0,105210004\approx 2,894789996,
e^{-\alpha}\approx e^{-0,052605002}\approx 0,94875437.
Multiplicando:
M=f^{(3)}(1)\approx 0,0110691441\cdot 2,894789996\cdot 0,94875437\approx 0,03040.

Resposta

M\approx 0,03040

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