Para encontrar uma aproximação para a integral
na qual
, siga este procedimento:
Calcule
e determine o valor máximo
do módulo dessa derivada no intervalo
;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) calcular a terceira derivada
da função
onde usarei
; (2) determinar o valor máximo
do módulo dessa derivada no intervalo
, isto é
Informações dadas que vamos usar: a constante
(logo
) e o intervalo
.
Passo 2
Vou calcular as derivadas passo a passo, usando regras básicas:
- Regra da cadeia: se
então . - Regra do produto:
.
Começo reescrevendo
com
.
Calculemos
. Aplicando a regra da cadeia com
e
,
Passo 3
Agora
. Diferencio
usando produto (com
e
):
Portanto
Fatorando
,
Também posso reescrever como
Passo 4
Agora
. Parto de
. Seja
. Usando produto:
Sabemos
e
. Assim
Fatorando
e
,
Calculemos
:
logo
Substituindo de volta,
Passo 5
Volto à constante
. Podemos escrever
em termos de
:
Isto é algebraicamente igual à fórmula com
, só explícita em
.
Passo 6
Queremos
. Observações úteis para simplificar:
- No intervalo
temos , então não muda sinal. - Calcule
. Como , tem-se
- Para
, . Assim o fator é positivo em todo o intervalo, logo para . Portanto
Para encontrar máximo de
em
basta encontrar máximo de
(já que
com constante positiva
). Calculo
para ver onde está o máximo:
usando produto com e
,
usando produto com
Fatorando
e simplificando obtemos
Seja
. A raiz da expressão entre parênteses satisfaz
cujas soluções são
Com
ambas as soluções dão
(valores aproximadamente
e
), portanto para
(ou seja
) a expressão
é positiva. Assim
em
, o que significa que
(e portanto
) é crescente em
.
Conclusão: o máximo de
em
ocorre em
. Logo
Passo 7
Agora calculo numericamente
. Já tenho
. Então
Multiplicando: