Para encontrar uma aproximação para a integral
na qual
, siga este procedimento:
Construa uma tabela de valores (
) para
. O passo anterior lhe dará a informação de quantas casas decimais são necessárias;
Construa uma tabela de valores (
Passo 1
O enunciado pede uma aproximação para a integral
onde
. Também pedem que você construa uma tabela de valores
para
e que, a partir dessa tabela, conclua quantas casas decimais são necessárias para representar corretamente esses valores. As informações que temos explicitamente são:
e a função
Observação numérica importante que vou usar:
. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Calcular
. Substituo
em
:
Explicação rápida: qualquer exponencial de zero é
. Então o valor em
é exatamente
.
Passo 3
Calcular
. Faço as manipulações exatas para entender a ordem de grandeza:
Então
Portanto
Para avaliar essa exponencial em notação decimal útil, uso a relação com logaritmo base
:
Isso significa que
Interpretação prática:
é da ordem de
, ou seja, aparece pela primeira vez por volta da 62ª casa decimal quando escrito na forma
.
Passo 4
Calcular
. Procedimento semelhante:
Logo
Convertendo para potência de
:
ou seja
Interpretação prática:
é astronomicamente pequeno — aparece só por volta da 247ª casa decimal.
Passo 5
Conclusão sobre quantas casas decimais são necessárias (a partir da tabela): se você quiser escrever os valores
em forma decimal normalizada
seguida de zeros e dígitos, precisa de aproximadamente
Explicação: se
então o primeiro dígito significativo aparece por volta da
-ésima casa decimal; usei
.
Passo 6
Agora uso esses resultados para aproximar a integral. Faço a substituição
. Assim
Recordando uma integral gaussiana conhecida:
E a função erro é definida por
Com isso a integral exata pode ser escrita como
Agora note que
. A função
tende para
muito rapidamente quando
é grande; para
ela já é praticamente
à precisão de muitas casas decimais. Como
é enorme nesse contexto, temos
com erro absolutamente desprezível (menor que as potências de
que já vimos). Portanto uma ótima aproximação é
Agora calculo numericamente. Uso
. Assim
A diferença entre integrar até
e integrar até
é insignificante, porque a contribuição para
é da ordem de
(extremamente pequena).
Passo 7
Resumo prático (o que vai na tabela e a conclusão das casas decimais):
-
. -
(logo precisa de cerca de 62 casas decimais para aparecer). -
(precisa de cerca de 247 casas decimais).
A aproximação da integral é
Resposta
Número de casas decimais necessárias: aproximadamente
Aproximação da integral: