Para encontrar uma aproximação para a integral
\int_{0}^{1} f(x) d x na qual f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4.2 %}\right)^{2}}, siga este procedimento:
Construa uma tabela de valores ( x, f(x) ) para x \in\{0,1 / 2,1\}. O passo anterior lhe dará a informação de quantas casas decimais são necessárias;

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação para a integral
\int_{0}^{1} f(x)\,dx
onde f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4,2\%}\right)^{2}}. Também pedem que você construa uma tabela de valores (x,f(x)) para x\in\{0,\tfrac{1}{2},1\} e que, a partir dessa tabela, conclua quantas casas decimais são necessárias para representar corretamente esses valores. As informações que temos explicitamente são:
x\in\{0,\tfrac{1}{2},1\}
e a função
f(x)=e^{-\left(\dfrac{x}{4,2\%}\right)^{2}}.
Observação numérica importante que vou usar: 4,2\%=0,042. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Calcular f(0). Substituo x=0 em f:
f(0)=e^{-\left(\dfrac{0}{0,042}\right)^{2}}=e^{0}=1.
Explicação rápida: qualquer exponencial de zero é 1. Então o valor em x=0 é exatamente 1.

Passo 3

Calcular f\!\left(\tfrac{1}{2}\right). Faço as manipulações exatas para entender a ordem de grandeza:
\dfrac{1/2}{0,042}=\dfrac{0,5}{0,042}=\dfrac{250}{21}\quad(\text{pois }0,042=\tfrac{21}{500}).
Então
\left(\dfrac{1/2}{0,042}\right)^{2}=\left(\dfrac{250}{21}\right)^{2}=\dfrac{62500}{441}\approx 141,723128.
Portanto
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\exp\!\left(-\dfrac{62500}{441}\right)\approx e^{-141,723128}.
Para avaliar essa exponencial em notação decimal útil, uso a relação com logaritmo base 10:
\log_{10}\big(e^{-141,723128}\big)=-\dfrac{141,723128}{\ln 10}\approx -61,58486.
Isso significa que
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\approx 10^{-61,58486}=10^{-62}\times 10^{0,41514}\approx 2,6\times 10^{-62}.
Interpretação prática: f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) é da ordem de 10^{-62}, ou seja, aparece pela primeira vez por volta da 62ª casa decimal quando escrito na forma 0,000\ldots.

Passo 4

Calcular f(1). Procedimento semelhante:
\dfrac{1}{0,042}=\dfrac{500}{21}\quad\text{e}\quad\left(\dfrac{1}{0,042}\right)^{2}=\dfrac{250000}{441}\approx 566,893424.
Logo
f(1)=\exp\!\left(-\dfrac{250000}{441}\right)\approx e^{-566,893424}.
Convertendo para potência de 10:
\log_{10}\big(e^{-566,893424}\big)=-\dfrac{566,893424}{\ln 10}\approx -246,2254,
ou seja
f(1)\approx 10^{-246,2254}\approx 5,94\times 10^{-247}.
Interpretação prática: f(1) é astronomicamente pequeno — aparece só por volta da 247ª casa decimal.

Passo 5

Conclusão sobre quantas casas decimais são necessárias (a partir da tabela): se você quiser escrever os valores f(x) em forma decimal normalizada 0, seguida de zeros e dígitos, precisa de aproximadamente
\text{para }f\!\left(\tfrac{1}{2}\right):\text{ }62\text{ casas decimais;}
\text{para }f(1):\text{ }247\text{ casas decimais.}
Explicação: se f\approx 10^{-k} então o primeiro dígito significativo aparece por volta da k-ésima casa decimal; usei k=\lfloor -\log_{10}f\rfloor+1.

Passo 6

Agora uso esses resultados para aproximar a integral. Faço a substituição t=\dfrac{x}{0,042}\Rightarrow dx=0,042\,dt. Assim
\int_{0}^{1} e^{-\left(\frac{x}{0,042}\right)^{2}}dx =0,042\int_{0}^{1/0,042} e^{-t^{2}}dt.
Recordando uma integral gaussiana conhecida:
\int_{0}^{\infty} e^{-t^{2}}dt=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}.
E a função erro é definida por
\operatorname{erf}(u)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{u} e^{-t^{2}}dt.
Com isso a integral exata pode ser escrita como
\int_{0}^{1} f(x)\,dx = 0,042\cdot\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\operatorname{erf}\!\left(\dfrac{1}{0,042}\right).
Agora note que \dfrac{1}{0,042}\approx 23,8095. A função \operatorname{erf}(u) tende para 1 muito rapidamente quando u é grande; para u\gtrsim 5 ela já é praticamente 1 à precisão de muitas casas decimais. Como 23,8095 é enorme nesse contexto, temos
\operatorname{erf}\!\left(\dfrac{1}{0,042}\right)\approx 1
com erro absolutamente desprezível (menor que as potências de 10^{-200} que já vimos). Portanto uma ótima aproximação é
\int_{0}^{1} f(x)\,dx \approx 0,042\cdot\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}=0,021\sqrt{\pi}.
Agora calculo numericamente. Uso \sqrt{\pi}\approx 1,772453850905516. Assim
0,021\sqrt{\pi}\approx 0,021\times 1,772453850905516\approx 0,0372215308690158.
A diferença entre integrar até 1 e integrar até \infty é insignificante, porque a contribuição para t>23,8 é da ordem de e^{-23,8^{2}} (extremamente pequena).

Passo 7

Resumo prático (o que vai na tabela e a conclusão das casas decimais):
  • f(0)=1.
  • f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\approx 2,6\times 10^{-62} (logo precisa de cerca de 62 casas decimais para aparecer).
  • f(1)\approx 5,94\times 10^{-247} (precisa de cerca de 247 casas decimais).
A aproximação da integral é
\int_{0}^{1} f(x)\,dx \approx 0,0372215308690\;\text{(erro absolutamente desprezível dado os termos negligenciados).}í

Resposta

(0,\;1)
\left(\tfrac{1}{2},\;2,6\times 10^{-62}\right)
(1,\;5,94\times 10^{-247})
Número de casas decimais necessárias: aproximadamente 62 para f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) e 247 para f(1).
Aproximação da integral: 0,0372215308690158

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