Usando uma técnica adequada, dê uma aproximação para a integral
com pelo menos 4 algarismos significativos corretos.
Resposta:
Método de quadratura adequado □
Quantidade de pontos □
Valor aproximado
□
Quantidade de pontos □
Valor aproximado
Passo 1
O problema pede uma aproximação numérica da integral
com pelo menos 4 algarismos significativos corretos. Informações relevantes que já estão no enunciado:
- O intervalo de integração é
. - A função integranda é
. Note que . - Há uma singularidade integrável em
devido a (porque quando ), mas o produto com é integrável (comportamento próximo de quando ).
Passo 2
Escolha do método (explicação e justificativa didática).
Vou evitar quadraturas diretas que exigiriam tratamento explícito da singularidade logarítmica. Em vez disso uso uma técnica muito útil para integrais com : introduzir um parâmetro e derivar em relação a ele. Defino
Vou evitar quadraturas diretas que exigiriam tratamento explícito da singularidade logarítmica. Em vez disso uso uma técnica muito útil para integrais com
onde
é um parâmetro real. Observe que
logo
Assim a integral que queremos é
. Essa técnica “transforma” a ocorrência de
em uma derivada de uma família de integrais mais simples, que frequentemente podemos calcular em série. Não há problema em usar essa troca (diferenciação sob o sinal de integral) porque a expansão em série de
converge uniformemente em
, permitindo a troca soma/integral e a diferenciação termo-a-termo (justificação via convergência uniforme / Teorema da convergência dominada).
Passo 3
Expansão em série da função trigonométrica (revisão rápida).
A série de Taylor para é
A série de Taylor para
Substituindo
obtemos
(Expliquei o passo:
.)
Passo 4
Inserir a série em
, trocar soma e integral e integrar termo a termo.
Usando a série acima,
Usando a série acima,
Pela convergência uniforme podemos trocar soma e integral:
A integral é elementar:
Logo
Passo 5
Derivar em
e avaliar em
para obter
.
Diferenciando termo a termo:
Diferenciando termo a termo:
Avalia em
:
Simplificando o sinal
e usando
obtemos
Essa é uma série absolutamente convergente (o fatorial no denominador garante convergência muito rápida).
Passo 6
Cálculo numérico dos termos e critério de truncamento (mostrando como obter 4 algarismos significativos).
Vamos calcular os primeiros termos da série explicitamente (cada termo é)
Vamos calcular os primeiros termos da série explicitamente (cada termo é)
Calculemos
e as somas parciais:
-
:
-
:
Soma parcial
.
-
:
Soma parcial
.
-
:
Soma parcial
.
-
:
Soma parcial
.
-
:
Soma parcial
.
-
:
Soma parcial
.
Observações sobre o truncamento e erro:
- Os termos decrescem muito rápido (fatorial em
), por isso a contribuição além de é menor que . - Para garantir 4 algarismos significativos corretos basta que o erro absoluto seja menor que cerca de
. Já com ou temos erro muito menor que isso; com temos erro < . Portanto truncar a série em (ou seja, somar termos ) é mais que suficiente.
Passo 7
Resultado final e indicação do método prático a usar na prova.
- No lugar de uma quadratura clássica, o método usado foi: expansão em série da função trigonométrica e diferenciação em parâmetro (ou seja, definir
e usar ). Esse método lida bem com . - Truncando a série após
termos obtém-se uma aproximação com erro menor que .
Resposta
Método: expansão em série de
e diferenciação em parâmetro (
,
).
Quantidade de pontos: não se usa uma “quadratura por pontos” aqui; usa-se truncamento da série em (7 termos) para segurança.
Valor aproximado
Quantidade de pontos: não se usa uma “quadratura por pontos” aqui; usa-se truncamento da série em
Valor aproximado