Para encontrar uma aproximação para a integral
\int_{0}^{1} f(x) d x na qual f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4.2 %}\right)^{2}}, siga este procedimento:
Calcule f^{(3)}(x) e determine o valor máximo M do módulo dessa derivada no intervalo [0,1];

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) calcular a terceira derivada f^{(3)}(x) da função
f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4{,}2\%}\right)^{2}}
e (ii) determinar o máximo do módulo dessa derivada no intervalo [0,1], isto é encontrar
M=\max_{x\in[0,1]} |f^{(3)}(x)|.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
  • 4{,}2\% significa 0{,}042. Vou denotar a=0{,}042.
  • Portanto podemos reescrever f como f(x)=e^{-x^{2}/a^{2}}.
    A partir daqui vou calcular as derivadas passo a passo e depois achar o máximo do módulo no intervalo [0,1].

Passo 2

Preparação: conceito e regras que usarei (explicação didática curta).
  • Regra da cadeia: se g(x)=e^{u(x)} então g'(x)=u'(x)e^{u(x)}. Aqui u(x)=-x^{2}/a^{2}.
  • Produto e soma seguem as regras usuais. Vou aplicar cadeia repetidas vezes para obter f',f'',f^{(3)}.
  • Para facilitar a escrita, defino c=\dfrac{1}{a^{2}}=\dfrac{1}{0{,}042^{2}}. Assim f(x)=e^{-c x^{2}}.
    Explicação: usar c deixa as fórmulas mais limpas; numericamente c=\dfrac{250000}{441}\approx 566{,}893424.

Passo 3

Calcule f'(x) aplicando a regra da cadeia uma vez.
f(x)=e^{-c x^{2}},\qquad \frac{d}{dx}(-c x^{2})=-2c x,
logo
f'(x)=-2c x\,e^{-c x^{2}}.
Aqui: derivada de e^{u(x)} é u'(x)e^{u(x)}, com u'(x)=-2c x.

Passo 4

Calcule f''(x) aplicando a regra do produto a f'(x)=-2c x\cdot e^{-c x^{2}}.
Usamos (uv)'=u'v+uv' com u=-2c x e v=e^{-c x^{2}}.
u'=-2c,\qquad v'=-2c x e^{-c x^{2}}.
Portanto
f''(x)=(-2c)e^{-c x^{2}}+(-2c x)(-2c x)e^{-c x^{2}}.
Agrupando e^{-c x^{2}},
f''(x)=\bigl(-2c + 4c^{2}x^{2}\bigr)e^{-c x^{2}}.
Ou de forma mais amigável:
f''(x)=\bigl(4c^{2}x^{2}-2c\bigr)e^{-c x^{2}}.

Passo 5

Calcule f^{(3)}(x) aplicando novamente produto (derivamos f'').
Escrevemos f''(x)=h(x)e^{-c x^{2}} com h(x)=4c^{2}x^{2}-2c.
Então h'(x)=8c^{2}x e (e^{-c x^{2}})'=-2c x e^{-c x^{2}}.
Pela regra do produto:
f^{(3)}(x)=h'(x)e^{-c x^{2}}+h(x)\bigl(-2c x e^{-c x^{2}}\bigr).
Colocando e^{-c x^{2}} em evidência:
f^{(3)}(x)=\bigl(8c^{2}x -2c x(4c^{2}x^{2}-2c)\bigr)e^{-c x^{2}}.
Simplificando o fator interno:
8c^{2}x -2c x(4c^{2}x^{2}-2c)=8c^{2}x -8c^{3}x^{3}+4c^{2}x =-8c^{3}x^{3}+12c^{2}x.
Fatorando 4c^{2}x obtemos a forma compacta final:
\boxed{f^{(3)}(x)=4c^{2}x\bigl(3-2c x^{2}\bigr)e^{-c x^{2}}.}
Lembrete: aqui c=\dfrac{1}{0{,}042^{2}}=\dfrac{250000}{441}.

Passo 6

Agora vamos encontrar M=\max_{x\in[0,1]}|f^{(3)}(x)|.
Observações úteis (intuitivas): para x\ge 0 temos e^{-c x^{2}}>0 e 4c^{2}x\ge 0, então o sinal de f^{(3)}(x) é dado por 3-2c x^{2}. Assim:
  • f^{(3)}(x)>0 se x^{2}<\dfrac{3}{2c},
  • f^{(3)}(x)=0 se x^{2}=\dfrac{3}{2c},
  • f^{(3)}(x)<0 se x^{2}>\dfrac{3}{2c}.
    Portanto o módulo |f^{(3)}(x)| é dado por
|f^{(3)}(x)|=4c^{2}x\,\bigl|3-2c x^{2}\bigr|\,e^{-c x^{2}}.
O máximo pode ocorrer em pontos críticos interiores (onde a derivada de |f^{(3)}| é zero), ou nas extremidades x=0 ou x=1. Note que |f^{(3)}(0)|=0 e |f^{(3)}(1)| é extremamente pequeno porque e^{-c} com c\approx 566{,}9 é praticamente zero. Então esperamos o máximo em algum ponto interior pequeno.

Passo 7

Buscamos pontos críticos resolvendo (para x>0) a equação obtida a partir de \dfrac{d}{dx}\bigl(\ln |f^{(3)}(x)|\bigr)=0 (método prático: maximizar log do módulo).
No trecho onde 3-2c x^{2}>0 (isto é x^{2}<\dfrac{3}{2c}) temos
\ln |f^{(3)}(x)|=\ln(4c^{2})+\ln x+\ln(3-2c x^{2})-c x^{2}.
Derivando e igualando a zero dá, após simplificações, a equação em y=x^{2}:
4c^{2}y^{2}-12c y+3=0.
Esta é uma quadrática em y. Suas raízes são
y=\frac{12c\pm c\sqrt{96}}{8c^{2}}=\frac{12\pm\sqrt{96}}{8c}.
Usando \sqrt{96}=4\sqrt{6} e substituindo c obtemos numericamente as duas soluções
y_{1}\approx 0{,}000485556,\qquad y_{2}\approx 0{,}004807233.
Portanto as duas correspondentes x positivas são
x_{1}\approx 0{,}0220385,\qquad x_{2}\approx 0{,}069323.
Agora precisamos checar em qual intervalo cada uma está:
  • A fronteira onde f^{(3)} muda de sinal é x=\sqrt{\dfrac{3}{2c}}. Calculando com c\approx 566{,}893424 obtemos \sqrt{\dfrac{3}{2c}}\approx 0{,}05144.
  • Assim x_{1}\approx 0{,}02204 está antes da mudança de sinal (onde 3-2cx^{2}>0), e x_{2}\approx 0{,}06932 está depois (onde 3-2cx^{2}<0). Ambos são pontos candidatos para máximo do módulo.

Passo 8

Calcule |f^{(3)}| nesses pontos (usarei algumas simplificações exatas para reduzir erro numérico).
Recordando c y = \dfrac{3\pm\sqrt{96}}{8}=\dfrac{3\pm \,4\sqrt{6}}{8}, notamos que nas soluções ocorre uma simplificação que faz com que |3-2c x^{2}|=\sqrt{6} nos dois pontos críticos. Assim o valor do módulo em cada ponto crítico pode ser escrito e avaliado; o maior valor ocorre no ponto menor x_{1} (isto é típico aqui porque o fator exponencial decai com x).
Avaliando numericamente em x_{1}\approx 0{,}0220385 obtemos
|f^{(3)}(x_{1})|\approx 5{,}2708\times 10^{4}.
Em x_{2}\approx 0{,}069323 o valor é menor (aproximadamente 1{,}43\times 10^{4}), e em x=1 o valor é desprezível por causa do fator e^{-c}.

Passo 9

Conclusão: o máximo do módulo de f^{(3)} em [0,1] é atingido em x\approx 0{,}0220385 e o valor máximo é aproximadamente 5{,}2708\times 10^{4}.

Resposta

f^{(3)}(x)=4c^{2}x\bigl(3-2c x^{2}\bigr)e^{-c x^{2}},\quad\text{com }c=\dfrac{1}{0{,}042^{2}}=\dfrac{250000}{441}.
M=\displaystyle\max_{x\in[0,1]}|f^{(3)}(x)|\approx 5{,}2708\times 10^{4}.

Exercícios relacionados