Para encontrar uma aproximação para a integral \int_{0}^{1} f(x) d x na qual f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4.2 %}\right)^{2}}, siga este procedimento:
Calcule f^{(3)}(x) e determine o valor máximo M do módulo dessa derivada no intervalo [0,1];
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) calcular a terceira derivada f^{(3)}(x) da função
f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4{,}2\%}\right)^{2}}
e (ii) determinar o máximo do módulo dessa derivada no intervalo [0,1], isto é encontrar
M=\max_{x\in[0,1]} |f^{(3)}(x)|.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
4{,}2\% significa 0{,}042. Vou denotar a=0{,}042.
Portanto podemos reescrever f como f(x)=e^{-x^{2}/a^{2}}.
A partir daqui vou calcular as derivadas passo a passo e depois achar o máximo do módulo no intervalo [0,1].
Passo 2
Preparação: conceito e regras que usarei (explicação didática curta).
Regra da cadeia: se g(x)=e^{u(x)} então g'(x)=u'(x)e^{u(x)}. Aqui u(x)=-x^{2}/a^{2}.
Produto e soma seguem as regras usuais. Vou aplicar cadeia repetidas vezes para obter f',f'',f^{(3)}.
Para facilitar a escrita, defino c=\dfrac{1}{a^{2}}=\dfrac{1}{0{,}042^{2}}. Assim f(x)=e^{-c x^{2}}.
Explicação: usar c deixa as fórmulas mais limpas; numericamente c=\dfrac{250000}{441}\approx 566{,}893424.
Passo 3
Calcule f'(x) aplicando a regra da cadeia uma vez.
Calcule f^{(3)}(x) aplicando novamente produto (derivamos f'').
Escrevemos f''(x)=h(x)e^{-c x^{2}} com h(x)=4c^{2}x^{2}-2c.
Então h'(x)=8c^{2}x e (e^{-c x^{2}})'=-2c x e^{-c x^{2}}.
Pela regra do produto:
f^{(3)}(x)=h'(x)e^{-c x^{2}}+h(x)\bigl(-2c x e^{-c x^{2}}\bigr).
Agora vamos encontrar M=\max_{x\in[0,1]}|f^{(3)}(x)|.
Observações úteis (intuitivas): para x\ge 0 temos e^{-c x^{2}}>0 e 4c^{2}x\ge 0, então o sinal de f^{(3)}(x) é dado por 3-2c x^{2}. Assim:
f^{(3)}(x)>0 se x^{2}<\dfrac{3}{2c},
f^{(3)}(x)=0 se x^{2}=\dfrac{3}{2c},
f^{(3)}(x)<0 se x^{2}>\dfrac{3}{2c}.
Portanto o módulo |f^{(3)}(x)| é dado por
O máximo pode ocorrer em pontos críticos interiores (onde a derivada de |f^{(3)}| é zero), ou nas extremidades x=0 ou x=1. Note que |f^{(3)}(0)|=0 e |f^{(3)}(1)| é extremamente pequeno porque e^{-c} com c\approx 566{,}9 é praticamente zero. Então esperamos o máximo em algum ponto interior pequeno.
Passo 7
Buscamos pontos críticos resolvendo (para x>0) a equação obtida a partir de \dfrac{d}{dx}\bigl(\ln |f^{(3)}(x)|\bigr)=0 (método prático: maximizar log do módulo).
No trecho onde 3-2c x^{2}>0 (isto é x^{2}<\dfrac{3}{2c}) temos
Agora precisamos checar em qual intervalo cada uma está:
A fronteira onde f^{(3)} muda de sinal é x=\sqrt{\dfrac{3}{2c}}. Calculando com c\approx 566{,}893424 obtemos \sqrt{\dfrac{3}{2c}}\approx 0{,}05144.
Assim x_{1}\approx 0{,}02204 está antes da mudança de sinal (onde 3-2cx^{2}>0), e x_{2}\approx 0{,}06932 está depois (onde 3-2cx^{2}<0). Ambos são pontos candidatos para máximo do módulo.
Passo 8
Calcule |f^{(3)}| nesses pontos (usarei algumas simplificações exatas para reduzir erro numérico).
Recordando c y = \dfrac{3\pm\sqrt{96}}{8}=\dfrac{3\pm \,4\sqrt{6}}{8}, notamos que nas soluções ocorre uma simplificação que faz com que |3-2c x^{2}|=\sqrt{6} nos dois pontos críticos. Assim o valor do módulo em cada ponto crítico pode ser escrito e avaliado; o maior valor ocorre no ponto menor x_{1} (isto é típico aqui porque o fator exponencial decai com x).
Avaliando numericamente em x_{1}\approx 0{,}0220385 obtemos
|f^{(3)}(x_{1})|\approx 5{,}2708\times 10^{4}.
Em x_{2}\approx 0{,}069323 o valor é menor (aproximadamente 1{,}43\times 10^{4}), e em x=1 o valor é desprezível por causa do fator e^{-c}.
Passo 9
Conclusão: o máximo do módulo de f^{(3)} em [0,1] é atingido em x\approx 0{,}0220385 e o valor máximo é aproximadamente 5{,}2708\times 10^{4}.