Usando aritmética de 6 dígitos, determine os coeficientes do polinômio g(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} que melhor aproxime (segundo o erro quadrático) a função f(x) tabelada abaixo:
\left[\begin{array}{llllll} x_{i} & 0.0 & 0.2 & 0.4 & 0.8 & 1.0 \\\ f\left(x_{i}\right) & 4.541 & 6.774 & 9.348 & 19.0 & 27.84 \end{array}\right]
Digite os coeficientes do polinômio encontrado:
\begin{aligned} & a_{0}=\square \\\ & a_{1}=\square \\\ & a_{2}=\square \end{aligned}
Dados da questão:
[0.0,0.2,0.4,0.8,1.0]
[4.541, 6.774, 9.348, 19.0, 27.84]

Passo 1

O problema pede: encontrar, pelo critério dos mínimos quadrados (erro quadrático), os coeficientes do polinômio de grau 2
g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}
que melhor aproxima (em sentido quadrático) os pontos dados. Os dados fornecidos são os pares (x_i,f(x_i)):
\begin{array}{lll} x_i: & 0{,}0,\;0{,}2,\;0{,}4,\;0{,}8,\;1{,}0\\[4pt] f(x_i): & 4{,}541,\;6{,}774,\;9{,}348,\;19{,}0,\;27{,}84 \end{array}
Então as perguntas são: determinar a_{0},a_{1},a_{2} (usando aritmética de 6 dígitos).]

Passo 2

Método (explicação didática do que vamos fazer).
  • Para ajuste por mínimos quadrados com base 1,x,x^{2} escrevemos as equações normais obtidas por anular as derivadas do erro quadrático. Essas equações são, em forma matricial:
\begin{pmatrix} n & \sum x_i & \sum x_i^{2}\\[4pt] \sum x_i & \sum x_i^{2} & \sum x_i^{3}\\[4pt] \sum x_i^{2} & \sum x_i^{3} & \sum x_i^{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{0}\\[4pt]a_{1}\\[4pt]a_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum f_i\\[4pt] \sum x_i f_i\\[4pt] \sum x_i^{2} f_i \end{pmatrix}.
  • Aqui n é o número de pontos; \sum x_i é a soma dos x_i; \sum x_i^2 soma dos quadrados etc.; \sum x_i f_i é a soma dos produtos x_i f(x_i), e assim por diante.
  • Calculamos essas somas a partir dos dados e resolvemos o sistema linear para obter a_0,a_1,a_2.
  • Vou mostrar os cálculos das somas e a resolução passo a passo. Vou apresentar os números arredondados com 6 dígitos significativos quando fizer operações numéricas.]

Passo 3

Cálculo das somas essenciais (cada soma obtida somando cada ponto; depois aplico arredondamento quando necessário).
  • n=5.
  • Calculemos \sum x_i, \sum x_i^{2}, \sum x_i^{3}, \sum x_i^{4}:
\sum x_i = 0{,}0+0{,}2+0{,}4+0{,}8+1{,}0 = 2{,}4.
\sum x_i^{2} = 0^{2}+0{,}2^{2}+0{,}4^{2}+0{,}8^{2}+1^{2} =0+0{,}04+0{,}16+0{,}64+1 = 1{,}84.
\sum x_i^{3} = 0+0{,}008+0{,}064+0{,}512+1 = 1{,}584.
\sum x_i^{4} = 0+0{,}0016+0{,}0256+0{,}4096+1 = 1{,}4368.
  • Agora as somas envolvendo f:
\sum f_i = 4{,}541+6{,}774+9{,}348+19{,}0+27{,}84 = 67{,}503.
\sum x_i f_i = 0\cdot4{,}541 +0{,}2\cdot6{,}774 +0{,}4\cdot9{,}348 +0{,}8\cdot19{,}0 +1{,}0\cdot27{,}84 = 48{,}134.
\sum x_i^{2} f_i = 0\cdot4{,}541 +0{,}04\cdot6{,}774 +0{,}16\cdot9{,}348 +0{,}64\cdot19{,}0 +1\cdot27{,}84 = 41{,}76664.
(Os produtos foram calculados ponto a ponto; os resultados escritos com precisão suficiente e, quando for usado nas contas, arredondarei a 6 dígitos significativos.)
Resumo das somas:
\begin{aligned} & n=5,\\\ & \sum x_i = 2{,}4,\\\ & \sum x_i^{2} = 1{,}84,\\\ & \sum x_i^{3} = 1{,}584,\\\ & \sum x_i^{4} = 1{,}4368,\\\ & \sum f_i = 67{,}503,\\\ & \sum x_i f_i = 48{,}134,\\\ & \sum x_i^{2} f_i = 41{,}76664. \end{aligned}

Passo 4

Formamos o sistema normal com essas somas:
\begin{pmatrix} 5 & 2{,}4 & 1{,}84\\[4pt] 2{,}4 & 1{,}84 & 1{,}584\\[4pt] 1{,}84 & 1{,}584 & 1{,}4368 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{0}\\[4pt]a_{1}\\[4pt]a_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}67{,}503\\[4pt]48{,}134\\[4pt]41{,}76664\end{pmatrix}.
Agora vamos resolver esse sistema por eliminação de Gauss (mostro as etapas e aplico arredondamento a 6 dígitos significativos nos resultados numéricos intermediários).]

Passo 5

Eliminação: transformar para forma triangular superior.
  • Usamos a primeira linha como pivô. Fator para zerar entrada (2,1): m_{21}=\dfrac{2{,}4}{5}=0{,}48.
    Atualizando linha 2: L_2 \leftarrow L_2 - m_{21} L_1.
    Cálculos: \begin{aligned} & 1{,}84 -0{,}48\cdot 2{,}4 = 0{,}688,\\\ & 1{,}584 -0{,}48\cdot 1{,}84 = 0{,}7008,\\\ & 48{,}134 -0{,}48\cdot 67{,}503 = 15{,}73256. \end{aligned}Arredondando a 6 dígitos significativos (quando apropriado) escrevemos a nova linha 2 como L_2: \quad [\,0,\;0{,}688000,\;0{,}700800\;|\;15{,}7326\,].
  • Para linha 3: m_{31}=\dfrac{1{,}84}{5}=0{,}368.
    Atualizando L_3 \leftarrow L_3 - m_{31} L_1: \begin{aligned} & 1{,}584 -0{,}368\cdot 2{,}4 = 0{,}7008,\\\ & 1{,}4368 -0{,}368\cdot 1{,}84 = 0{,}75968,\\\ & 41{,}76664 -0{,}368\cdot 67{,}503 = 16{,}925536. \end{aligned}Arredondando a 6 dígitos significativos: L_3: \quad [\,0,\;0{,}700800,\;0{,}759680\;|\;16{,}9255\,].
Agora a matriz está (aproximadamente):
\begin{pmatrix} 5 & 2{,}4 & 1{,}84 &|\;&67{,}503\\[4pt] 0 & 0{,}688000 & 0{,}700800 &|\;&15{,}7326\\[4pt] 0 & 0{,}700800 & 0{,}759680 &|\;&16{,}9255 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Segunda etapa de eliminação (usar L_2 para zerar L_3 na coluna 2).
  • Fator m_{32}=\dfrac{0{,}700800}{0{,}688000} \approx 1{,}01860 (arredondei esse fator a 6 dígitos significativos).
  • Atualizo L_3 \leftarrow L_3 - m_{32} L_2. Calculemos componentes (usando aritmética arredondada a 6 dígitos significativos em cada produto/subtração): \begin{aligned} & \text{(coluna 2)}\; 0{,}700800 -1{,}01860\cdot 0{,}688000 \approx 0{,}000000\\ (\text{resíduo numérico pequeno}),\\[4pt] & \text{(coluna 3)}\; 0{,}759680 -1{,}01860\cdot 0{,}700800 \approx 0{,}0458451,\\[4pt] & \text{(RHS)}\; 16{,}9255 -1{,}01860\cdot 15{,}7326 \approx 0{,}900286. \end{aligned}íéArredondando as entradas a 6 dígitos significativos, a nova linha 3 fica L_3: \quad [\,0,\;0,\;0{,}0458451\;|\;0{,}900286\,].
Agora temos a forma triangular superior (matriz e RHS):
\begin{pmatrix} 5 & 2{,}4 & 1{,}84 &|\;&67{,}503\\[4pt] 0 & 0{,}688000 & 0{,}700800 &|\;&15{,}7326\\[4pt] 0 & 0 & 0{,}0458451 &|\;0{,}900286 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Retrossubstituição para obter a_{2},a_{1},a_{0}.
  • Primeiro \displaystyle a_{2} = \frac{0{,}900286}{0{,}0458451}.
    Calculando e arredondando a 6 dígitos significativos: a_{2} \approx 19{,}6386.(Nos cálculos exatos racionais intermediários obtém-se um valor próximo a 19{,}638576\ldots e, arredondando a 6 dígitos significativos, fica 19{,}6386.)
  • Em seguida, da segunda linha: 0{,}688000\,a_{1} + 0{,}700800\,a_{2} = 15{,}7326.Substituindo a_{2} e isolando a_{1}: a_{1} = \frac{15{,}7326 - 0{,}700800\cdot a_{2}}{0{,}688000}.Fazendo a conta (com arredondamento a 6 dígitos significativos nos produtos e no resultado): a_{1} \approx 2{,}86296.(Valor exato aproximado é 2{,}86296264\ldots, que arredondado a 6 dígitos significativos dá 2{,}86296.)
  • Finalmente, da primeira linha: 5\,a_{0} + 2{,}4\,a_{1} + 1{,}84\,a_{2} = 67{,}503,então a_{0} = \frac{67{,}503 - 2{,}4\,a_{1} - 1{,}84\,a_{2}}{5}.Substituindo a_{1} e a_{2} (e mantendo arredondamento a 6 dígitos significativos nas operações intermediárias) obtemos a_{0} \approx 4{,}89931.(Cálculo direto dá a_{0}\approx 4{,}89931133\ldots, que arredondado a 6 dígitos significativos é 4{,}89931.)
Resumo dos coeficientes obtidos (arredondados a 6 dígitos significativos conforme pedido):
a_{0}\approx 4{,}89931,\qquad a_{1}\approx 2{,}86296,\qquad a_{2}\approx 19{,}6386.

Resposta

a_{0}=4{,}89931
a_{1}=2{,}86296
a_{2}=19{,}6386

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