Usando aritmética de 6 dígitos, determine os coeficientes do polinômio g(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} que melhor aproxime (segundo o erro quadrático) a função f(x) tabelada abaixo:
Então as perguntas são: determinar a_{0},a_{1},a_{2} (usando aritmética de 6 dígitos).]
Passo 2
Método (explicação didática do que vamos fazer).
Para ajuste por mínimos quadrados com base 1,x,x^{2} escrevemos as equações normais obtidas por anular as derivadas do erro quadrático. Essas equações são, em forma matricial:
Aqui n é o número de pontos; \sum x_i é a soma dos x_i; \sum x_i^2 soma dos quadrados etc.; \sum x_i f_i é a soma dos produtos x_i f(x_i), e assim por diante.
Calculamos essas somas a partir dos dados e resolvemos o sistema linear para obter a_0,a_1,a_2.
Vou mostrar os cálculos das somas e a resolução passo a passo. Vou apresentar os números arredondados com 6 dígitos significativos quando fizer operações numéricas.]
Passo 3
Cálculo das somas essenciais (cada soma obtida somando cada ponto; depois aplico arredondamento quando necessário).
(Os produtos foram calculados ponto a ponto; os resultados escritos com precisão suficiente e, quando for usado nas contas, arredondarei a 6 dígitos significativos.)
Agora vamos resolver esse sistema por eliminação de Gauss (mostro as etapas e aplico arredondamento a 6 dígitos significativos nos resultados numéricos intermediários).]
Passo 5
Eliminação: transformar para forma triangular superior.
Usamos a primeira linha como pivô. Fator para zerar entrada (2,1): m_{21}=\dfrac{2{,}4}{5}=0{,}48.
Atualizando linha 2: L_2 \leftarrow L_2 - m_{21} L_1.
Cálculos:\begin{aligned} & 1{,}84 -0{,}48\cdot 2{,}4 = 0{,}688,\\\ & 1{,}584 -0{,}48\cdot 1{,}84 = 0{,}7008,\\\ & 48{,}134 -0{,}48\cdot 67{,}503 = 15{,}73256. \end{aligned}Arredondando a 6 dígitos significativos (quando apropriado) escrevemos a nova linha 2 comoL_2: \quad [\,0,\;0{,}688000,\;0{,}700800\;|\;15{,}7326\,].
Primeiro \displaystyle a_{2} = \frac{0{,}900286}{0{,}0458451}.
Calculando e arredondando a 6 dígitos significativos:a_{2} \approx 19{,}6386.(Nos cálculos exatos racionais intermediários obtém-se um valor próximo a 19{,}638576\ldots e, arredondando a 6 dígitos significativos, fica 19{,}6386.)
Em seguida, da segunda linha:0{,}688000\,a_{1} + 0{,}700800\,a_{2} = 15{,}7326.Substituindo a_{2} e isolando a_{1}:a_{1} = \frac{15{,}7326 - 0{,}700800\cdot a_{2}}{0{,}688000}.Fazendo a conta (com arredondamento a 6 dígitos significativos nos produtos e no resultado):a_{1} \approx 2{,}86296.(Valor exato aproximado é 2{,}86296264\ldots, que arredondado a 6 dígitos significativos dá 2{,}86296.)
Finalmente, da primeira linha:5\,a_{0} + 2{,}4\,a_{1} + 1{,}84\,a_{2} = 67{,}503,entãoa_{0} = \frac{67{,}503 - 2{,}4\,a_{1} - 1{,}84\,a_{2}}{5}.Substituindo a_{1} e a_{2} (e mantendo arredondamento a 6 dígitos significativos nas operações intermediárias) obtemosa_{0} \approx 4{,}89931.(Cálculo direto dá a_{0}\approx 4{,}89931133\ldots, que arredondado a 6 dígitos significativos é 4{,}89931.)
Resumo dos coeficientes obtidos (arredondados a 6 dígitos significativos conforme pedido):