Encontrar inteiros x e y tais que
43 x+128 y=1

Passo 1

Beleza, o problema pede para a gente encontrar inteiros 43x + 128y = 1 e tais que
Isso é uma equação diofantina linear, que cai na matéria de Teoria dos Números. Para resolver, a ferramenta principal é o Algoritmo de Euclides Estendido, que serve para calcular o mdc de dois números e, de quebra, escrever esse mdc como combinação linear deles. Aqui a gente vai precisar:
  1. Calcular o com o Algoritmo de Euclides.
  2. Fazer a “volta” (back-substitution) para achar coeficientes e .

Passo 2

Primeiro, vamos achar o 128 &= 43 times 2 + 42, 43 &= 42 times 1 + 1, 42 &= 1 times 42 + 0 com o Algoritmo de Euclides “normal” e anotar restos:
Como o último resto não-nulo é 1, temos . Ou seja, existe solução para .

Passo 3

Agora, a parte do Euclides Estendido: a gente “volta” expressando 1 como combinação linear de 128 e 43.
Da segunda linha:
1 = 43 - 42times 1
Mas da primeira linha temos
42 = 128 - 43times 2
Substituindo 1 = 43 - l(128 - 43times 2r)times 1 = 43 - 128 + 43times 2 = 43times 3 - 128times 1 na expressão de 1:
1 = 43cdot 3 + 128cdot(-1)
Ou seja, conseguimos

Resposta

Uma solução é
boxedx = 3, y = -1

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