Beleza, então o enunciado é: “Mostrar, por indução, que
Isso é um problema sobre indução matemática (o método para provar afirmações para todo ) e divisibilidade (mostrar que um número é múltiplo de 9).
O que vamos precisar:
Entender o princípio de indução (base e passo indutivo).
Saber que, se 9 divide e 9 divide , então 9 divide .
Passo 2
Base da indução ().
Substituindo em :
Como , temos .
Logo, a afirmação vale para .
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que para algum valha
Isso significa que existe um inteiro tal que
Agora queremos mostrar que a propriedade vale para , ou seja, que
Começamos desenvolvendo essa expressão:
Agora, escrevemos como vezes a nossa hipótese mais umas contas:
Mas é mais simples agrupar assim:
Note que
Logo
Pelo fato de a hipótese dizer que é múltiplo de 9, temos que
ú
também é múltiplo de 9. E a segunda parcela é obviamente múltiplo de 9. Soma de múltiplos de 9 é múltiplo de 9.
Portanto