Mostrar, por indução, que
9 mid(10^n+1-9 n-10), forall n >= 1

Passo 1

Beleza, então o enunciado é: “Mostrar, por indução, que
9 mid l(10^n+1 - 9n - 10r), forall n >= 1
Isso é um problema sobre indução matemática (o método para provar afirmações para todo ) e divisibilidade (mostrar que um número é múltiplo de 9).
O que vamos precisar:
  • Entender o princípio de indução (base e passo indutivo).
  • Saber que, se 9 divide e 9 divide , então 9 divide .

Passo 2

Base da indução ( 10^1+1 - 9cdot1 - 10 = 10^2 - 9 - 10 = 100 - 19 = 81 ).
Substituindo em :
Como , temos .
Logo, a afirmação vale para .

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que para algum 9 mid l(10^k+1 - 9k - 10r) valha
10^k+1 - 9k - 10 = 9m
Isso significa que existe um inteiro 9 mid l(10^(k+1)+1 - 9(k+1) - 10r) tal que
10^k+2 - 9(k+1) - 10 = 10cdot 10^k+1 - 9k - 9 - 10 = 10cdot 10^k+1 - 9k - 19
Agora queremos mostrar que a propriedade vale para 10cdot 10^k+1 - 9k - 19 = 10l(10^k+1 - 9k - 10r) + l(-19 + 10cdot(-(-10))r) , ou seja, que
10^k+2 - 9(k+1) - 10 = 10l(10^k+1 - 9k - 10r) + l(90k +100 -9k -19r)
Começamos desenvolvendo essa expressão:
90k +100 -9k -19 = 81k +81 = 81(k+1) = 9l(9(k+1)r)
Agora, escrevemos 10^k+2 - 9(k+1) - 10 = 10underbracel(10^k+1 - 9k - 10r)mú como 10 times (mú vezes a nossa hipótese mais umas contas:
9 mid l(10^k+2 - 9(k+1) - 10r),
Mas é mais simples agrupar assim:
Note que
Logo
úó
Pelo fato de a hipótese dizer que é múltiplo de 9, temos que
ú
também é múltiplo de 9. E a segunda parcela é obviamente múltiplo de 9. Soma de múltiplos de 9 é múltiplo de 9.
Portanto
que é exatamente o que queríamos.

Resposta

Por indução, fica provado que
9 mid l(10^n+1 - 9n - 10r) para todo n>=1

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