Encontrar a solução do sistema
x^prime & =7 x-4 y y^prime & =-9 x+7 y x(0) & =4 y(0) & =1

Passo 1

Beleza, temos um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem:
x' = 7x - 4y, y' = -9x + 7y, x(0)=4, y(0)=1
Isso é matéria de EDO (equações diferenciais ordinárias) com coeficientes constantes. A técnica que vamos usar é transformar isso em x'=Ax, achar os autovalores (eigenvalues) e autovetores da matriz A, montar a solução geral e depois ajustar às condições iniciais.

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz A do sistema:
A=7&-4-9&7
Para encontrar os autovalores lambda, montamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=0
Aqui A-lambda I=7-lambda&-4-9&7-lambda e o determinante é
(7-lambda)^2 - (-4)(-9) = (7-lambda)^2 -36
Então o polinômio é
(7-lambda)^2 -36 = 0 Longrightarrow lambda^2 -14lambda +13 = 0
Esse é o passo para achar os valores de lambda que fazem a matriz singular.

Passo 3

Agora resolvemos lambda^2 -14lambda +13 =0. A fórmula de Bhaskara dá:
lambda = 14 pm raiz14^2 -4cdot1cdot132 = 14 pm raiz196 -522 = 14 pm 122
Logo os autovalores são
lambda1 =13, lambda2=1
Em seguida, para cada lambdai, achamos o autovetor vi resolvendo (A-lambdai I)vi=0.
  • Para lambda1=13: (A-13I)=-6&-4-9&-6,a equação vira -6v1 -4v2 =0;Longrightarrow;3v1 +2v2=0;Longrightarrow;v2=-tfrac32 v1Um autovetor prático é v1=(2,-3)
  • Para lambda2=1: (A-I)=6&-4-9&6,então 6v1 -4v2=0;Longrightarrow;3v1 -2v2=0;Longrightarrow;v2=tfrac32 v1,escolhemos v2=(2,3)

Passo 4

A teoria diz que a solução geral de x'=Ax é combinação linear dos modos e^lambdai tvi:
x(t) = C1 e^13t2-3 + C2 e^t23
Separando em x(t) e y(t):
x(t)=2C1 e^13t +2C2 e^t, y(t)=-3C1 e^13t +3C2 e^t

Passo 5

Agora encaixamos as condições iniciais x(0)=4 e y(0)=1:
Em t=0 temos
x(0)=2C1+2C2=4, y(0)=-3C1+3C2=1
Isso dá o sistema
C1 + C2 =2, - C1 + C2 =tfrac13
Somando as duas equações: 2C2 = 2 + tfrac13 = tfrac73;Longrightarrow;C2=tfrac76
Daí C1 = 2 - tfrac76 = tfrac56

Resposta

Substituindo C1 e C2, a solução é
boxedx(t) = 53e^13t + 73e^t, y(t) = -52e^13t + 72e^t

Exercícios relacionados