Obtenha h para que por trapézios a integral
integral0^1 e^-x^3 d x
tenha erro de truncamento menor do que 10^-5.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa escolher o tamanho de passo integral0^1 e^-x^3,dx no método dos trapézios compostos para aproximar
de modo que o erro de truncamento fique menor que .
Conteúdo da matéria: regra composta dos trapézios e seu limite de erro, derivada segunda da função e estimativa máxima dessa derivada.

Passo 2

Teoria do erro dos trapézios compostos: se dividirmos l|ETr|<= b-a12,h^2,maxxin[a,b]l|f''(x)r| em subintervalos de largura , o erro de truncamento satisfaz
Aqui , , . Nosso plano:
  1. achar ,
  2. estimar ,
  3. impor e resolver para .

Passo 3

Calcular derivadas de f'(x) = ddxe^-x^3 = -3x^2,e^-x^3, :
f''(x) = ddxl(-3x^2e^-x^3r) = -6x,e^-x^3 +(-3x^2)l(-3x^2e^-x^3r) = e^-x^3l(-6x +9x^4r)

Passo 4

Vamos achar |f''(x)| = e^-x^3,l|-6x+9x^4r| . Para não fazer conta demais, note que
Mapprox 5,53
Estudando essa função (derivada, pontos críticos etc.) dá aproximadamente

Passo 5

Impondo o erro
112,h^2,M ;<=;10^-5 Longrightarrow h^2 ;<=;12cdot10^-5M ;approx;1,2times10^-45,53 approx 2,17times10^-5,
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h ;<=;raiz2,17times10^-5 approx 4,66times10^-3

Resposta

Para garantir erro menor que boxedh ;<=sssim;4,66times10^-3 usando trapézios compostos em , basta escolher

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