Encontrar todos os inteiros positivos n para os quais (n+1) mid(n^2+1).

Passo 1

Beleza, o exercício pede: “Encontrar todos os inteiros positivos tais que divide .”
Conteúdo: teoria de divisibilidade e cálculo de resto de uma divisão de polinômios.
O que a gente vai usar: a divisão de polinômios (ou apenas reescrever em função de para ver o resto).

Passo 2

Vamos dividir n^2+1 = (n+1)(n-1) + 2 por . Um jeito rápido é escrever:
Aqui, é a parte “exata” e o que sobra é . Esse “sobra” é justamente o resto da divisão.

Passo 3

A condição “ n+1 ;m|; 2 divide n+1 = 1 ou n+1 = 2 ” é a mesma coisa que dizer “o resto é zero”. Pelo que achamos, o resto é . Então precisamos de
Os divisores positivos de são e . Logo, só pode dar certo se

Passo 4

Resolver cada caso:
  • Se , então . Mas isso não vale, porque queremos \emph{inteiros positivos}.
  • Se , então .

Resposta

O único inteiro positivo que funciona é .

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