Mostrar que (a, b c)=1, se, e somente se, (a, b)=(a, c)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente quer mostrar que
(a, bc) = 1 Long<=ftrightarrow (a, b) = 1 ;e; (a, c) = 1
Isso faz parte da teoria de máximo divisor comum (mdc) e de divisibilidade.
O que vamos precisar:
  1. Definição de mdc: significa que é o maior número que divide simultaneamente e .
  2. O fato de que quer dizer que não existe primo comum que divida e .
  3. O lema de Euclides (no sentido: se um primo divide um produto, divide um dos fatores).
A partir do próximo passo a gente começa a prova de fato.

Passo 2

Prova da direção “ e ”.
  1. Suponha que .
  2. Se por absurdo , então existe um primo que divide , logo e .
  3. Mas aí implica , e como , teríamos dividindo simultaneamente e .
  4. Isso força , contradizendo .
  5. Logo não pode existir primo comum entre e , ou seja .
  6. Exatamente o mesmo raciocínio vale trocando por , dando .

Passo 3

Prova da direção “ e ”.
  1. Suponha agora que e .
  2. Se, por absurdo, , existe um primo tal que , logo e .
  3. Pelo lema de Euclides, de segue que ou .
  4. Se , então seria divisor comum de e , contradizendo .
  5. Se , dá a mesma contradição com .
  6. Portanto não existe primo dividindo simultaneamente e , o que implica .

Resposta

Nós provamos as duas direções, logo está demonstrado que
(a,bc)=1 Long<=ftrightarrow (a,b)=1 ;e; (a,c)=1

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