Sendo 1a+1b um inteiro, onde a e b são inteiros positivos, mostrar que a=b. Mostrar, também, que a=1 ou 2

Passo 1

Então, o enunciado diz o seguinte: “Sendo um número inteiro (vou chamar esse inteiro de ), onde e são inteiros positivos, prove que na verdade . Além disso, mostre que esse valor comum só pode ser ou .”
Conteúdo envolvido: divisão de frações, equações diofantinas simples e propriedades de divisibilidade (especialmente o cálculo de ). Vamos usar a ideia de “colocar as frações no mesmo denominador” e depois um argumento de máximo divisor comum para chegar em quais valores pode assumir.

Passo 2

Começo escrevendo
1a + 1b = k,
onde bab + aab = a + bab = k é um inteiro. Pra juntar as frações, usamos o mesmo denominador :

Passo 3

Multiplico dos dois lados por a + b = k,a,b :

Passo 4

Isolo b = k,a,b - a Longrightarrow b,(k,a - 1) = a Longrightarrow b = ak,a - 1 . Da equação tiro
Como é inteiro, o denominador tem de dividir exatamente .

Passo 5

Agora usamos um truque de teoria de números:
Se um número (k,a - 1) - kcdot a = -1 divide simultaneamente e , então também deve dividir qualquer combinação linear, em particular
Isso implica que divide , logo . Como estamos em inteiros positivos, .

Passo 6

Se k,a - 1 = 1 Longrightarrow k,a = 2 e ainda divide , só há uma possibilidade positiva:
Assim é divisor de 2 em , ou seja, ou .

Passo 7

  • Se b = 12cdot1 - 1 = 1, , então b = 21cdot2 - 1 = 2, . Voltando em : logo .
  • Se , então . De novo em : ou seja .

Resposta

Portanto, mostramos que necessariamente e que o único valor possível para esse par é ou .

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