Sendo
um inteiro, onde
e
são inteiros positivos, mostrar que
. Mostrar, também, que
ou 2
Passo 1
Então, o enunciado diz o seguinte: “Sendo
um número inteiro (vou chamar esse inteiro de
), onde
e
são inteiros positivos, prove que na verdade
. Além disso, mostre que esse valor comum só pode ser
ou
.”
Conteúdo envolvido: divisão de frações, equações diofantinas simples e propriedades de divisibilidade (especialmente o cálculo de ). Vamos usar a ideia de “colocar as frações no mesmo denominador” e depois um argumento de máximo divisor comum para chegar em quais valores
pode assumir.
Conteúdo envolvido: divisão de frações, equações diofantinas simples e propriedades de divisibilidade (especialmente o cálculo de
Passo 2
Começo escrevendo
onde
é um inteiro. Pra juntar as frações, usamos o mesmo denominador
:
Passo 3
Multiplico dos dois lados por
:
Passo 4
Isolo
. Da equação
tiro
Como
é inteiro, o denominador
tem de dividir exatamente
.
Passo 5
Agora usamos um truque de teoria de números:
Se um número divide simultaneamente
e
, então
também deve dividir qualquer combinação linear, em particular
Se um número
Isso implica que
divide
, logo
. Como estamos em inteiros positivos,
.
Passo 6
Se
e ainda
divide
, só há uma possibilidade positiva:
Assim
é divisor de 2 em
, ou seja,
ou
.
Passo 7
- Se
, então . Voltando em : logo . - Se
, então . De novo em : ou seja .
Resposta
Portanto, mostramos que necessariamente
e que o único valor possível para esse par é
ou
.