Resolver a equação e^x=2-x^2 usando o método de Newton-Raphson com um mínimo de quatro casas decimais

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é a equação
e^x = 2 - x^2
e queremos encontrar os valores de que satisfazem isso usando o método de Newton–Raphson, garantindo pelo menos quatro casas decimais de precisão.
Conteúdo envolvido: equações não lineares, derivada de função e o método de Newton–Raphson.
O que vamos precisar:
1) montar a função levando tudo para um lado da igualdade;
2) calcular a derivada ;
3) aplicar a fórmula iterativa de Newton até a diferença entre passos ser menor que .

Passo 2

Primeiro, definimos
f(x) = e^x + x^2 - 2
porque f'(x) = ddxl(e^x + x^2 - 2r) = e^x + 2x vira xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) .
A derivada é
A fórmula de Newton–Raphson para atualizar o chute é
Agora basta escolher um chute inicial próximo de cada raiz e iterar até convergir.

Passo 3

Encontrando a raiz positiva (entre 0 e 1):
Chute inicial: x1 &= 0.5 - e^0.5 + (0.5)^2 - 2,e^0.5 + 2cdot0.5,approx 0.5382, x2 &= 0.5382 - e^0.5382 + (0.5382)^2 - 2,e^0.5382 + 2cdot0.5382,approx 0.5371, x3 &= 0.5371 - e^0.5371 + (0.5371)^2 - 2,e^0.5371 + 2cdot0.5371,approx 0.5373, x4 &= 0.5373 - e^0.5373 + (0.5373)^2 - 2,e^0.5373 + 2cdot0.5373,approx 0.5373 .
Iterações:
x approx 0.5373
Repare que , então a raiz positiva estabilizou em

Passo 4

Encontrando a raiz negativa (entre –2 e –1):
Chute inicial: x1 &= -1.5 - e^-1.5 + (-1.5)^2 - 2,e^-1.5 + 2cdot(-1.5),approx -1.3296, x2 &= -1.3296 - e^-1.3296 + (-1.3296)^2 - 2,e^-1.3296 + 2cdot(-1.3296),approx -1.3160, x3 &= -1.3160 - e^-1.3160 + (-1.3160)^2 - 2,e^-1.3160 + 2cdot(-1.3160),approx -1.3158, x4 &= -1.3158 - e^-1.3158 + (-1.3158)^2 - 2,e^-1.3158 + 2cdot(-1.3158),approx -1.3158 .
Iterações:
x approx -1.3158
Como , a raiz negativa ficou em

Resposta

As duas soluções da equação boxedx approx 0.5373 e x approx -1.3158 com pelo menos quatro casas decimais são

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