Encontre uma aproximação para pi usando:
pi=integral0^1 41+x^2 d x
e a regra de 1 / 3 de Simpson com 4 subintervalos.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente aproximar o valor de π usando a integral
pi = integral0^1 41 + x^2,dx
e aplicar a regra 1/3 de Simpson com 4 subintervalos. Isso é parte de Integração Numérica: a gente vai dividir o intervalo [0,1] em pedaços, avaliar a função nos pontos, e usar a fórmula de Simpson pra aproximar a área. Precisamos saber:
- Como dividir o intervalo (calcular o passo ).
- A fórmula da regra de Simpson 1/3.
- Avaliar em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, a divisão do intervalo:
  • O intervalo é de h = b - an = 1 - 04 = 0.25 até x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5, x3 = 0.75, x4 = 1 .
  • Número de subintervalos (deve ser par).
  • O tamanho do passo é
Então os pontos são

Passo 3

Agora a gente avalia a função f(x0)&=f(0) = 41+0^2 = 4, f(x1)&=f(0.25)= 41+0.25^2 = 41.0625approx 3.764705882, f(x2)&=f(0.5) = 41+0.5^2 = 41.25 = 3.2, f(x3)&=f(0.75)= 41+0.75^2 = 41.5625 = 2.56, f(x4)&=f(1) = 41+1^2 = 2 em cada :

Passo 4

Agora a regra 1/3 de Simpson diz:
integral0^1 f(x),dx ;approx; h3l[f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4)r]
Substituindo tudo:
integral0^1 41+x^2,dx ;approx; 0.253l[4 + 4,(3.764705882) + 2,(3.2) + 4,(2.56) + 2r]
Dentro do colchete dá:
4 + 4cdot3.764705882 + 2cdot3.2 + 4cdot2.56 + 2 = 4 + 15.0588 + 6.4 + 10.24 + 2 approx 37.6988
Multiplicando por 0.0833333 times 37.6988 approx 3.14156863 :

Resposta

Usando a regra 1/3 de Simpson com 4 subintervalos, obtemos
pi approx 3.14156863

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