Uma viga de 12 m está sujeita a uma carga, e a força de cisalhamento segue a equação:
V(x)=5+0,25 x^2
onde V é a força de cisalhamento e x é a distância ao longo da viga. Sabemos que V(x)=d Md x, em que M é o momento de deformação. A integração fornece a relação:
M=M0+integral0^L V(x) d x
Se M0=0 e L=12, calcule M usando:
(a) integração analítica,
(b) aplicação múltipla da regra do trapézio, e
© aplicação múltipla das regras de Simpson.
Para os casos (b) e ©, utilize incrementos de 1 m .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma viga de comprimento L=12,m e a força de cisalhamento ao longo dela é
V(x)=5+0,25,x^2,, 0<= x<=12,
Como V(x)=dfracdMdx, o momento em x=L é dado por
M=M0+integral0^L V(x),dx,,
e aqui M0=0.
Conteúdo: cálculo de integrais (teorema fundamental do Cálculo) e métodos numéricos (regra do trapézio e de Simpson). Vamos precisar saber:
  • Como encontrar a primitiva de uma função polinomial.
  • Fórmulas da regra do trapézio e de Simpson para aproximar integrais com passo h=1,m.

Passo 2

(a) Integração analítica
  1. Primeiro, achamos uma primitiva de V(x):
integrall(5+0,25,x^2r),dx =5x +0,25;x^33+C =5x +0,253,x^3 +C,
  1. Avaliamos de 0 a 12, lembrando que M0=0:
M = l[5x +0,253x^3r]0^12 =5cdot12 +0,253,12^3 - 0 =60 +0,253times1728 =60 +0,08333times1728 =60 +144 =204,

Passo 3

(b) Regra do trapézio múltipla com h=1,m
  1. Dividimos [0,12] em 12 subintervalos de largura h=1. Em cada nó xi=i,(i=0,dots,12), calculamos
fi=V(xi)=5+0,25,xi^2,
2) A regra do trapézio diz:
integral0^12V(x),dx approx hl(tfracf0+f122+sumi=1^11fir),
  1. Calculando os valores (resumido):
    f₀=5, f₁=5,25, f₂=6, …, f₁₁=35,25, f₁₂=41. A soma intermediária sumi=1^11fi=180,5.
  2. Logo
Mtrap = 1l(tfrac5+412+180,5r) =2,5 +180,5 =203,5,

Passo 4

© Regra de Simpson múltipla com h=1,m
  1. Novamente xi=i, i=0,dots,12, e mesmos fi.
  2. A regra de Simpson para número par de subintervalos é
integral0^12V(x),dx approx h3l(f0+f12+4sumímparesfi+2sumpares,,ine0,12fir)í
3) Soma dos ímpares i=1,3,5,7,9,11 100,5; soma dos pares i=2,4,6,8,10 80.
4) Então
$$M_{Simpson} = \frac{1}{3}\Bigl(5+41+4\cdot100{,}5+2\cdot80\Bigr)
=\frac{1}{3}(46+402+160)
=\frac{608}{3}
\approx202{,}67,. $$

Resposta

(a) M=204
(b) Mtrap=203,5
© MSimpsonapprox202,67

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