Uma viga de 12 m está sujeita a uma carga, e a força de cisalhamento segue a equação:
onde
é a força de cisalhamento e
é a distância ao longo da viga. Sabemos que
, em que
é o momento de deformação. A integração fornece a relação:
Se
e
, calcule
usando:
(a) integração analítica,
(b) aplicação múltipla da regra do trapézio, e
© aplicação múltipla das regras de Simpson.
Para os casos (b) e ©, utilize incrementos de 1 m .
(a) integração analítica,
(b) aplicação múltipla da regra do trapézio, e
© aplicação múltipla das regras de Simpson.
Para os casos (b) e ©, utilize incrementos de 1 m .
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma viga de comprimento
m e a força de cisalhamento ao longo dela é
Como
e aqui
.
Conteúdo: cálculo de integrais (teorema fundamental do Cálculo) e métodos numéricos (regra do trapézio e de Simpson). Vamos precisar saber:
Conteúdo: cálculo de integrais (teorema fundamental do Cálculo) e métodos numéricos (regra do trapézio e de Simpson). Vamos precisar saber:
- Como encontrar a primitiva de uma função polinomial.
- Fórmulas da regra do trapézio e de Simpson para aproximar integrais com passo
m.
Passo 2
(a) Integração analítica
- Primeiro, achamos uma primitiva de
:
- Avaliamos de
a , lembrando que :
Passo 3
(b) Regra do trapézio múltipla com
m
- Dividimos
em 12 subintervalos de largura . Em cada nó , calculamos
2) A regra do trapézio diz:
- Calculando os valores (resumido):
f₀=5, f₁=5,25, f₂=6, …, f₁₁=35,25, f₁₂=41. A soma intermediária. - Logo
Passo 4
© Regra de Simpson múltipla com
m
- Novamente
, , e mesmos . - A regra de Simpson para número par de subintervalos é
3) Soma dos ímpares
4) Então
$$M_{Simpson} = \frac{1}{3}\Bigl(5+41+4\cdot100{,}5+2\cdot80\Bigr)
=\frac{1}{3}(46+402+160)
=\frac{608}{3}
=\frac{608}{3}
\approx202{,}67,. $$
Resposta
(a)
(b)
©
(b)
©