Mostre que se um vetor
é perpendicular a um espaço vetorial
de dimensão finita
, então
é perpendicular a todo vetor da base de
.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
A gente tem um vetor e um subespaço vetorial
de dimensão finita
. O exercício pede para mostrar que, se
é perpendicular a todo vetor de
, então ele também é perpendicular a cada vetor de qualquer base de
.
Conteúdo que precisamos:
A gente tem um vetor
Conteúdo que precisamos:
- Definição de produto escalar e ortogonalidade (o que significa “
é perpendicular a um subespaço”). - Conceito de base de um espaço vetorial (vetores que geram o espaço).
Passo 2
Definição de “
é perpendicular a
”
Por definição, dizemos que
Por definição, dizemos que
Aqui
é o produto escalar. Essa definição já deixa claro que qualquer vetor de
é ortogonal a
.
Passo 3
Aplicando a definição à base
Seja uma base de
. Por ser base, cada
pertence a
.
Então, aplicando a definição de ortogonalidade diretamente a cada , temos
Seja
Então, aplicando a definição de ortogonalidade diretamente a cada
Ou seja,
é perpendicular a cada vetor da base.
Resposta
Portanto, se
é perpendicular a todo vetor de
, então necessariamente