Mostre que se um vetor v é perpendicular a um espaço vetorial W de dimensão finita n, então v é perpendicular a todo vetor da base de W.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
A gente tem um vetor e um subespaço vetorial de dimensão finita . O exercício pede para mostrar que, se é perpendicular a todo vetor de , então ele também é perpendicular a cada vetor de qualquer base de .
Conteúdo que precisamos:
  • Definição de produto escalar e ortogonalidade (o que significa “ é perpendicular a um subespaço”).
  • Conceito de base de um espaço vetorial (vetores que geram o espaço).

Passo 2

Definição de “ v perp W Long<=ftrightarrow vcdot w = 0 para todo win W é perpendicular a
Por definição, dizemos que
Aqui é o produto escalar. Essa definição já deixa claro que qualquer vetor de é ortogonal a .

Passo 3

Aplicando a definição à base
Seja vcdot wi = 0, para i=1,2,dots,n uma base de . Por ser base, cada pertence a .
Então, aplicando a definição de ortogonalidade diretamente a cada , temos
Ou seja, é perpendicular a cada vetor da base.

Resposta

Portanto, se vcdot wi = 0 para toda base w1,dots,wn de W é perpendicular a todo vetor de , então necessariamente

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