Mostre que no método de Lagrange, interpolar 2 pontos de pares ordenados coincide com a expressão da equação de um reta.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede pra mostrar que, se a gente interpola dois pontos e usando o método de Lagrange, o polinômio que surge é exatamente a equação da reta que passa por esses dois pontos.
Conteúdo: interpolação polinomial pelo método de Lagrange.
O que a gente vai precisar:
  • A fórmula geral de Lagrange para grau 1.
  • Saber manipular frações algébricas pra chegar na forma “reta”.

Passo 2

Teoria rápida: o método de Lagrange diz que, pra interpolar P1(x) ;=; y0,L0(x);+;y1,L1(x) pontos, construímos polinômios base e somamos . No nosso caso, , então temos dois pontos e o polinômio de interpolação é
Não pule etapas: já sabe que esse tem grau no máximo 1 (ou seja, é uma reta).

Passo 3

Agora definimos os polinômios de Lagrange:
L0(x) ;=;x - x1x0 - x1, L1(x) ;=;x - x0x1 - x0
Essas fórmulas garantem que , e vice-versa para . É assim que cada “entra” só no ponto certo.

Passo 4

Substituindo em P1(x) = y0!(x - x1x0 - x1) + y1!(x - x0x1 - x0) :
P1(x) =y0,(x - x1) + y1,(x - x0),x0 - x1,
Repare que y0x - y0x1 + y1x - y1x0 = (y0 + y1)x ;-; (y0x1 + y1x0) . Se a gente juntar tudo num único denominador, dá pra reescrever assim:
Expandindo no numerador:
Mas, em vez de ficar nesse formato feio, a gente pode reorganizar pra mostrar o coeficiente angular.

Passo 5

Vamos escrever P1(x) = y0 ,+, y1 - y0x1 - x0,(x - x0) na forma ponto-inclinação. Note que:
Isso fica claro se você separar e fatorar . O que tá aí é exatamente a equação da reta que passa por com coeficiente angular .

Resposta

A interpolação de Lagrange para os pontos boxedP1(x) = y0 ;+;y1 - y0x1 - x0,l(x - x0r), e é
que é exatamente a equação da reta passando por esses dois pontos.

Exercícios relacionados