Mostre que no método de Lagrange, interpolar 2 pontos de pares ordenados coincide com a expressão da equação de um reta.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado pede pra mostrar que, se a gente interpola dois pontos
e
usando o método de Lagrange, o polinômio que surge é exatamente a equação da reta que passa por esses dois pontos.
Conteúdo: interpolação polinomial pelo método de Lagrange.
O que a gente vai precisar:
Conteúdo: interpolação polinomial pelo método de Lagrange.
O que a gente vai precisar:
- A fórmula geral de Lagrange para grau 1.
- Saber manipular frações algébricas pra chegar na forma “reta”.
Passo 2
Teoria rápida: o método de Lagrange diz que, pra interpolar
pontos, construímos polinômios base
e somamos
. No nosso caso,
, então temos dois pontos e o polinômio de interpolação é
Não pule etapas: já sabe que esse
tem grau no máximo 1 (ou seja, é uma reta).
Passo 3
Agora definimos os polinômios de Lagrange:
Essas fórmulas garantem que
,
e vice-versa para
. É assim que cada
“entra” só no ponto certo.
Passo 4
Substituindo em
:
Repare que
. Se a gente juntar tudo num único denominador, dá pra reescrever assim:
Expandindo no numerador:
Mas, em vez de ficar nesse formato feio, a gente pode reorganizar pra mostrar o coeficiente angular.
Passo 5
Vamos escrever
na forma ponto-inclinação. Note que:
Isso fica claro se você separar
e fatorar
. O que tá aí é exatamente a equação da reta que passa por
com coeficiente angular
.
Resposta
A interpolação de Lagrange para os pontos
e
é
que é exatamente a equação da reta passando por esses dois pontos.