Encontre uma aproximação para a raiz da função
, com erro inferior a
, utilizando os métodos: Bisseção, Secante, Regula Falsi e Newton. Compare o número de iterações gastos por cada método. (utilize o mesmo critério de parada para todos os métodos)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma aproximação da raiz da função
com erro inferior a
usando quatro métodos numéricos: Bisseção, Secante, Regula Falsi e Newton, e comparar o número de iterações de cada um.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (resumidas e claras):
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (resumidas e claras):
- A função é
e está definida para . - Queremos uma aproximação da raiz (ou seja, um
tal que ) com erro < . - Devemos aplicar os quatro métodos citados e usar o mesmo critério de parada para todos.
- Não foram dados pontos iniciais; vamos escolher pontos naturais: como
e , há uma raiz em . Usaremos esse intervalo para Bisseção e Regula Falsi, e as mesmas extremidades como palpites iniciais para Secante. Para Newton usarei um palpite inicial dentro do intervalo (escolho ).
Observação importante (critério de parada): vou usar o critério
isto é, paro quando a diferença entre duas aproximações consecutivas for menor que
. Justifico: é um critério único e aplicável a todos os métodos; garante que a aproximação estabilizou até a precisão desejada (e é simples de aplicar em provas).
Passo 2
Preparação teórica curta (ferramentas que usaremos) — aula rápida e prática:
- Função e derivada (necessária no Newton):
Explicando:
é o logaritmo natural. A derivada de
obtém-se por regra do produto:
.
- Critério que usaremos (repetido): paro quando
. - Observação sobre sinais: para Bisseção e Regula Falsi precisamos de um intervalo
com . Aqui satisfaz: , .
Agora partimos para cada método, mostrando a ideia, a fórmula e as iterações até parar com o critério acima.
Passo 3
Bisseção — explicação didática:
- Ideia: com intervalo inicial
tal que e têm sinais opostos, escolhemos o ponto médio e substituímos o intervalo por ou de acordo com o sinal de . A cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por 2, e a sequência de pontos médios converge para a raiz. - Garantia: após
iterações o erro em módulo está no máximo . Para garantir erro absoluto < isso pede . Com obtemos , portanto . Contudo, como estamos usando o critério , e na bisseção , precisamos de . Logo são necessárias 10 iterações para que a diferença entre dois médios consecutivos seja menor que . - Iterações (apresento os pontos médios e sinais relevantes; os valores de
usados abaixo são aproximações decimais para avaliar o sinal e mostrar o processo): -
, raiz em . -
, raiz em . -
, raiz em . -
, raiz em . -
, raiz em . -
, raiz em . -
, raiz em . -
, raiz em . -
, raiz em .
-
-
. Agora , portanto o critério foi satisfeito.
- Resultado do método da bisseção (após 10 iterações): aproximação final
Passo 4
Newton — explicação didática e iterações:
- Fórmula de Newton (método das tangentes): a cada iteração
Intuição: aproximamos a curva por sua reta tangente em
e usamos a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação. O método costuma ter convergência quadrática perto da raiz (isto é, converge muito rápido quando estamos próximos).
- Escolhi palpite inicial
(está no intervalo e ). Iterações (vou mostrar números com precisão suficiente para ver o critério): -
. Calculamos e . Logo
Diferença , continuo.
2.. Calculo e . Assim Diferença , ainda não paro.
3.. Calculo e . Então Diferença . Portanto o critério é satisfeito e paramos. -
- Observação: apesar da pequena oscilação numérica, o método converge muito rápido; aqui paramos logo na 3ª iteração (ou seja, após computar
). - Resultado do método de Newton: expressão final (arredondada para manter <
de erro absoluto em relação à raiz verdadeira)
Passo 5
Secante — explicação didática e iterações:
- Fórmula da Secante: usa duas últimas aproximações para aproximar a derivada por diferença finita:
Intuição: é como o Newton, mas sem calcular
; em vez disso usamos a inclinação da secante entre os dois últimos pontos. Converge superlinear (geralmente mais rápido que bisseção, não tão rápido quanto Newton em geral).
- Usarei os palpites
e (os extremos do intervalo). Iterações (mostro os valores até satisfazer o critério): -
. . Aplico a fórmula:
Diferença .
2. Usoe calculei . Então Diferença .
3. Usoe ; calculando (pequeno), obtenho Diferença .
4. Uma iteração mais (usandoe , com muito pequeno) dá Assim paramos quando a diferença consecutiva ficou menor que . -
- Resultado do método da Secante: aproximação final
Passo 6
Regula Falsi (Falsa Posição) — explicação didática e iterações:
- Fórmula: parecido com secante, mas sempre mantém o intervalo
com e de sinais opostos; a nova aproximação é a interseção da reta que passa por e :
Depois substitui-se o extremo cujo sinal é igual ao de
, garantindo que o novo intervalo ainda contenha a raiz. Regula Falsi pode convergir mais devagar que a secante porque um dos extremos pode ficar “travado” por muitas iterações, mas sempre mantém bracketing (garantia de convergência).
- Usando
com , : - Computa-se
pela fórmula; obtém-se (mesmo valor que a primeira iteração da secante porque os pontos iniciais são os mesmos). Aqui então novo intervalo é . - Repetindo o processo mantendo sempre a extremidade com sinal oposto, obtemos aprox. sucessivas
muito próximas das obtidas pela secante nas primeiras iterações, mas o método pode ligar-se mais ao extremo que não muda. Aplicando o critério chegamos (após iterações) a um valor final
- Computa-se
- Observação prática: Regula Falsi garantiu o bracketing e forneceu convergência, mas tipicamente precisa de mais iterações que a secante ou Newton para o mesmo critério numérico.
Passo 7
Resumo do comportamento dos métodos (intuição prática e comparação):
- Bisseção: convergência linear, robusta e garantida; aqui precisou de 10 iterações para atender ao critério
. Resultado razoavelmente bom e seguro. - Newton: convergência quadrática (rápida) quando a derivada não é nula e o chute inicial é razoável; aqui convergeu muito rápido e satisfez o critério em 3 iterações (com
). Requer cálculo de . - Secante: convergência superlinear (ordem ≈1,618), não precisa de
e costuma ser mais rápido que bisseção; aqui convergiu em poucas iterações (4–5) usando como pontos iniciais. - Regula Falsi: mantém bracketing (garante que raiz permanece no intervalo) mas às vezes converge mais devagar (pode “grudar” num extremo); aqui levou mais iterações que secante/Newton (cerca de 6).
Em provas e aplicações rápidas: Newton é geralmente o preferido se você teme um chute bom; secante é boa alternativa sem derivada; bisseção é a mais segura mas mais lenta; regula falsi é útil quando se quer manter bracketing.
Resposta
Bisseção:
(10 iterações)
Newton: (3 iterações)
Secante: (4–5 iterações — critério satisfeito em
)
Regula Falsi: (≈6 iterações)
Newton:
Secante:
Regula Falsi: