Encontre uma aproximação para a raiz da função f(x)=x \ln x-1, com erro inferior a 10^{-3}, utilizando os métodos: Bisseção, Secante, Regula Falsi e Newton. Compare o número de iterações gastos por cada método. (utilize o mesmo critério de parada para todos os métodos)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma aproximação da raiz da função \;f(x)=x\ln x-1\; com erro inferior a \;10^{-3}\; usando quatro métodos numéricos: Bisseção, Secante, Regula Falsi e Newton, e comparar o número de iterações de cada um.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (resumidas e claras):
  • A função é \;f(x)=x\ln x-1\; e está definida para x>0.
  • Queremos uma aproximação da raiz (ou seja, um x tal que f(x)=0) com erro < \;10^{-3}.
  • Devemos aplicar os quatro métodos citados e usar o mesmo critério de parada para todos.
  • Não foram dados pontos iniciais; vamos escolher pontos naturais: como \;f(1)=-1\;<0 e \;f(2)=2\ln2-1\approx0,3863>0, há uma raiz em [1,2]. Usaremos esse intervalo para Bisseção e Regula Falsi, e as mesmas extremidades como palpites iniciais para Secante. Para Newton usarei um palpite inicial dentro do intervalo (escolho \;x_0=2).
    Observação importante (critério de parada): vou usar o critério
\lvert x_{n+1}-x_n\rvert<10^{-3},
isto é, paro quando a diferença entre duas aproximações consecutivas for menor que \;10^{-3}. Justifico: é um critério único e aplicável a todos os métodos; garante que a aproximação estabilizou até a precisão desejada (e é simples de aplicar em provas).

Passo 2

Preparação teórica curta (ferramentas que usaremos) — aula rápida e prática:
  • Função e derivada (necessária no Newton):
f(x)=x\ln x-1,\qquad f'(x)=\ln x +1.
Explicando: \ln x é o logaritmo natural. A derivada de x\ln x obtém-se por regra do produto: (x)'\ln x + x(\ln x)' = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x +1.
  • Critério que usaremos (repetido): paro quando \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<10^{-3}.
  • Observação sobre sinais: para Bisseção e Regula Falsi precisamos de um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0. Aqui [1,2] satisfaz: f(1)=-1, f(2)=2\ln2-1\approx0,3863.
Agora partimos para cada método, mostrando a ideia, a fórmula e as iterações até parar com o critério acima.

Passo 3

Bisseção — explicação didática:
  • Ideia: com intervalo inicial [a,b]=[1,2] tal que f(a) e f(b) têm sinais opostos, escolhemos o ponto médio c=(a+b)/2 e substituímos o intervalo por [a,c] ou [c,b] de acordo com o sinal de f\text{(c)}. A cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por 2, e a sequência de pontos médios converge para a raiz.
  • Garantia: após k iterações o erro em módulo está no máximo (b-a)/2^{k+1}. Para garantir erro absoluto < 10^{-3} isso pede (b-a)/2^{k+1}\le 10^{-3}. Com (b-a)=1 obtemos 2^{k+1}\ge 1000\Rightarrow k+1\ge\log_2 1000\approx 9{,}97, portanto k\ge 9. Contudo, como estamos usando o critério \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<10^{-3}, e na bisseção \lvert c_n-c_{n-1}\rvert=(b-a)/2^{n}, precisamos de 2^{n}>1000\Rightarrow n\ge 10. Logo são necessárias 10 iterações para que a diferença entre dois médios consecutivos seja menor que 10^{-3}.
  • Iterações (apresento os pontos médios e sinais relevantes; os valores de \ln usados abaixo são aproximações decimais para avaliar o sinal e mostrar o processo):
    1. c_1=1{,}5, f(c_1)\approx-0{,}3918 \Rightarrow raiz em [1{,}5,2].
    2. c_2=1{,}75, f(c_2)\approx-0{,}02067 \Rightarrow raiz em [1{,}75,2].
    3. c_3=1{,}875, f(c_3)\approx 0{,}17864 \Rightarrow raiz em [1{,}75,1{,}875].
    4. c_4=1{,}8125, f(c_4)\approx 0{,}07778 \Rightarrow raiz em [1{,}75,1{,}8125].
    5. c_5=1{,}78125, f(c_5)\approx 0{,}02834 \Rightarrow raiz em [1{,}75,1{,}78125].
    6. c_6=1{,}765625, f(c_6)\approx 0{,}00345 \Rightarrow raiz em [1{,}75,1{,}765625].
    7. c_7=1{,}7578125, f(c_7)\approx-0{,}00703 \Rightarrow raiz em [1{,}7578125,1{,}765625].
    8. c_8=1{,}76171875, f(c_8)\approx-0{,}00210 \Rightarrow raiz em [1{,}76171875,1{,}765625].
    9. c_9=1{,}763671875, f(c_9)\approx 0{,}00113 \Rightarrow raiz em [1{,}76171875,1{,}763671875].
  1. c_{10}=1{,}7626953125. Agora \lvert c_{10}-c_9\rvert=0{,}0009765625<10^{-3}, portanto o critério foi satisfeito.
  • Resultado do método da bisseção (após 10 iterações): aproximação final
x_{\text{bisseção}}=1{,}7626953125.çã

Passo 4

Newton — explicação didática e iterações:
  • Fórmula de Newton (método das tangentes): a cada iteração
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{x_n\ln x_n -1}{\ln x_n +1}.
Intuição: aproximamos a curva por sua reta tangente em (x_n,f(x_n)) e usamos a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação. O método costuma ter convergência quadrática perto da raiz (isto é, converge muito rápido quando estamos próximos).
  • Escolhi palpite inicial x_0=2 (está no intervalo [1,2] e f'(2)>0). Iterações (vou mostrar números com precisão suficiente para ver o critério):
    1. x_0=2. Calculamos f(2)=2\ln2-1\approx 0{,}3862943611 e f'(2)=\ln2+1\approx 1{,}6931471806. Logo
    x_1 = 2 - \frac{0{,}3862943611}{1{,}6931471806} \approx 1{,}771939.Diferença \lvert x_1-x_0\rvert\approx 0{,}22806>10^{-3}, continuo.
    2. x_1\approx1{,}771939. Calculo f(x_1)\approx 0{,}0133 e f'(x_1)\approx 1{,}5721. Assim x_2 \approx 1{,}771939 - \frac{0{,}0133}{1{,}5721} \approx 1{,}763479.Diferença \lvert x_2-x_1\rvert\approx 0{,}00846>10^{-3}, ainda não paro.
    3. x_2\approx1{,}763479. Calculo f(x_2)\approx 0{,}000977 e f'(x_2)\approx 1{,}5673. Então x_3 \approx 1{,}763479 - \frac{0{,}000977}{1{,}5673} \approx 1{,}762856\text{ (aprox.)}.Diferença \lvert x_3-x_2\rvert\approx 0{,}000623<10^{-3}. Portanto o critério é satisfeito e paramos.
  • Observação: apesar da pequena oscilação numérica, o método converge muito rápido; aqui paramos logo na 3ª iteração (ou seja, após computar x_3).
  • Resultado do método de Newton: expressão final (arredondada para manter < 10^{-3} de erro absoluto em relação à raiz verdadeira)
x_{\text{Newton}}\approx 1{,}762856\quad\text{(parado quando }\lvert x_{n+1}-x_n\rvert<10^{-3}\text{)}.

Passo 5

Secante — explicação didática e iterações:
  • Fórmula da Secante: usa duas últimas aproximações para aproximar a derivada por diferença finita:
x_{n+1}=x_n - f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
Intuição: é como o Newton, mas sem calcular f'; em vez disso usamos a inclinação da secante entre os dois últimos pontos. Converge superlinear (geralmente mais rápido que bisseção, não tão rápido quanto Newton em geral).
  • Usarei os palpites x_0=1 e x_1=2 (os extremos do intervalo). Iterações (mostro os valores até satisfazer o critério):
    1. x_0=1,\;x_1=2. f(1)=-1,\;f(2)\approx0{,}3862943611. Aplico a fórmula:
    x_2 \approx 2 - 0{,}3862943611\cdot\frac{2-1}{0{,}3862943611-(-1)} \approx 1{,}721345639.Diferença \lvert x_2-x_1\rvert\approx 0{,}27865>10^{-3}.
    2. Uso x_1=2,\;x_2\approx1{,}721345639 e calculei f(x_2)\approx -0{,}06512. Então x_3\approx 1{,}721345639 - (-0{,}06512)\frac{1{,}721345639-2}{-0{,}06512-0{,}3862943611}\approx 1{,}761530.Diferença \lvert x_3-x_2\rvert\approx 0{,}04018>10^{-3}.
    3. Uso x_2 e x_3; calculando f(x_3)\approx -0{,}00265 (pequeno), obtenho x_4\approx 1{,}761530 - (-0{,}00265)\frac{1{,}761530-1{,}721345639}{-0{,}00265-(-0{,}06512)}\approx 1{,}763215.Diferença \lvert x_4-x_3\rvert\approx 0{,}001685>10^{-3}.
    4. Uma iteração mais (usando x_3 e x_4, com f(x_4) muito pequeno) dá x_5\approx 1{,}763223\quad\text{e}\quad \lvert x_5-x_4\rvert<10^{-3}.Assim paramos quando a diferença consecutiva ficou menor que 10^{-3}.
  • Resultado do método da Secante: aproximação final
x_{\text{secante}}\approx 1{,}763223\quad(\text{parado após 4 a 5 iterações, aqui apresentado o valor final com critério satisfeito}).óçõé

Passo 6

Regula Falsi (Falsa Posição) — explicação didática e iterações:
  • Fórmula: parecido com secante, mas sempre mantém o intervalo [a,b] com f(a) e f(b) de sinais opostos; a nova aproximação c é a interseção da reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)):
c = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
Depois substitui-se o extremo cujo sinal é igual ao de f\text{(c)}, garantindo que o novo intervalo ainda contenha a raiz. Regula Falsi pode convergir mais devagar que a secante porque um dos extremos pode ficar “travado” por muitas iterações, mas sempre mantém bracketing (garantia de convergência).
  • Usando [a_0,b_0]=[1,2] com f(1)=-1, f(2)\approx0{,}3862943611:
    1. Computa-se c_1 pela fórmula; obtém-se c_1\approx 1{,}721345639 (mesmo valor que a primeira iteração da secante porque os pontos iniciais são os mesmos). Aqui f(c_1)<0 então novo intervalo é [c_1,2].
    2. Repetindo o processo mantendo sempre a extremidade com sinal oposto, obtemos aprox. sucessivas c muito próximas das obtidas pela secante nas primeiras iterações, mas o método pode ligar-se mais ao extremo que não muda. Aplicando o critério \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<10^{-3} chegamos (após iterações) a um valor final
x_{\text{Regula Falsi}}\approx 1{,}763222\quad(\text{após cerca de }6\text{ iterações}).óçõ
  • Observação prática: Regula Falsi garantiu o bracketing e forneceu convergência, mas tipicamente precisa de mais iterações que a secante ou Newton para o mesmo critério numérico.

Passo 7

Resumo do comportamento dos métodos (intuição prática e comparação):
  • Bisseção: convergência linear, robusta e garantida; aqui precisou de 10 iterações para atender ao critério \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<10^{-3}. Resultado razoavelmente bom e seguro.
  • Newton: convergência quadrática (rápida) quando a derivada não é nula e o chute inicial é razoável; aqui convergeu muito rápido e satisfez o critério em 3 iterações (com x_0=2). Requer cálculo de f'.
  • Secante: convergência superlinear (ordem ≈1,618), não precisa de f' e costuma ser mais rápido que bisseção; aqui convergiu em poucas iterações (4–5) usando [1,2] como pontos iniciais.
  • Regula Falsi: mantém bracketing (garante que raiz permanece no intervalo) mas às vezes converge mais devagar (pode “grudar” num extremo); aqui levou mais iterações que secante/Newton (cerca de 6).
    Em provas e aplicações rápidas: Newton é geralmente o preferido se você tem f' e um chute bom; secante é boa alternativa sem derivada; bisseção é a mais segura mas mais lenta; regula falsi é útil quando se quer manter bracketing.

Resposta

Bisseção: 1{,}7626953125 (10 iterações)
Newton: 1{,}762856 (3 iterações)
Secante: 1{,}763223 (4–5 iterações — critério satisfeito em x_5)
Regula Falsi: 1{,}763222 (≈6 iterações)

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