Isole a raiz da função f(x)=x^{2}-2 x-3 e utilizando o Método de Newton encontre uma aproximação para a raiz positiva de f(x) com erro inferior a 10^{-4}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: isolar a raiz da função e, usando o Método de Newton, encontrar uma aproximação para a raiz positiva de f com erro inferior a 10^{-4}.
Informações dadas: a função é f(x)=x^{2}-2x-3.
Perguntas que vamos responder: (1) em que intervalo (ou ponto) está a raiz positiva de f; (2) aplicar o Método de Newton para obter uma aproximação dessa raiz com erro <10^{-4}.
Passo 2
Isolamento da(s) raiz(es). Para achar onde f(x)=0 podemos fatorar f. Note que
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Portanto as soluções da equação f(x)=0 são os pontos onde um dos fatores é zero, isto é x=3 e x=-1. Assim a raiz positiva é x=3. Como isolamento por sinal: por exemplo \,f(2)=2^{2}-2\cdot2-3=-3<0 e \,f(4)=4^{2}-2\cdot4-3=5>0, logo existe uma raiz em (2,4) — essa é a raiz positiva que acabamos de identificar como 3.
Passo 3
Apresentação do Método de Newton (explicação didática). O Método de Newton gera uma sequência \{x_n\} que tende à raiz procurada usando a fórmula
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui x_n é a aproximação atual da raiz, f(x_n) é o valor da função nessa aproximação e f'(x_n) é a derivada no mesmo ponto. Geometricamente, o método faz a reta tangente a f em x_n e usa a interseção dessa tangente com o eixo x como nova aproximação. Para a nossa função:
f(x)=x^{2}-2x-3,\qquad f'(x)=2x-2.
Critério prático de parada: quando a diferença entre dois iterados sucessivos |x_{n+1}-x_n| for menor que a tolerância desejada (aqui 10^{-4}), podemos considerar x_{n+1} suficientemente preciso. Perto da raiz, a correção |x_{n+1}-x_n|=\left|\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\right| é um bom estimador do erro.
Passo 4
Escolha do chute inicial. Como sabemos que a raiz positiva está em (2,4), escolhemos um chute fácil dentro desse intervalo, por exemplo
x_0=4.
Esse ponto é simples e a derivada f'(4)=6\neq0, então a iteração é válida e converge rapidamente (Newton costuma convergir muito rápido quando estamos relativamente perto da raiz).
Passo 5
Primeira iteração (n=0). Calcule f(x_0) e f'(x_0):
Esse erro é menor que a tolerância pedida 10^{-4}, logo x_{3} já satisfaz a condição.
Passo 8
Conclusão prática: em apenas três iterações (a partir de x_0=4) o Método de Newton nos deu uma aproximação cuja diferença para a raiz verdadeira 3 é menor que 10^{-4}. Se você quiser, poderia continuar iterando para obter ainda mais casas corretas — mas para o pedido da questão já estamos dentro da tolerância.