Isole a raiz da função f(x)=x^{2}-2 x-3 e utilizando o Método de Newton encontre uma aproximação para a raiz positiva de f(x) com erro inferior a 10^{-4}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: isolar a raiz da função e, usando o Método de Newton, encontrar uma aproximação para a raiz positiva de f com erro inferior a 10^{-4}.
Informações dadas: a função é f(x)=x^{2}-2x-3.
Perguntas que vamos responder: (1) em que intervalo (ou ponto) está a raiz positiva de f; (2) aplicar o Método de Newton para obter uma aproximação dessa raiz com erro <10^{-4}.

Passo 2

Isolamento da(s) raiz(es). Para achar onde f(x)=0 podemos fatorar f. Note que
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Portanto as soluções da equação f(x)=0 são os pontos onde um dos fatores é zero, isto é x=3 e x=-1. Assim a raiz positiva é x=3. Como isolamento por sinal: por exemplo \,f(2)=2^{2}-2\cdot2-3=-3<0 e \,f(4)=4^{2}-2\cdot4-3=5>0, logo existe uma raiz em (2,4) — essa é a raiz positiva que acabamos de identificar como 3.

Passo 3

Apresentação do Método de Newton (explicação didática). O Método de Newton gera uma sequência \{x_n\} que tende à raiz procurada usando a fórmula
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui x_n é a aproximação atual da raiz, f(x_n) é o valor da função nessa aproximação e f'(x_n) é a derivada no mesmo ponto. Geometricamente, o método faz a reta tangente a f em x_n e usa a interseção dessa tangente com o eixo x como nova aproximação. Para a nossa função:
f(x)=x^{2}-2x-3,\qquad f'(x)=2x-2.
Critério prático de parada: quando a diferença entre dois iterados sucessivos |x_{n+1}-x_n| for menor que a tolerância desejada (aqui 10^{-4}), podemos considerar x_{n+1} suficientemente preciso. Perto da raiz, a correção |x_{n+1}-x_n|=\left|\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\right| é um bom estimador do erro.

Passo 4

Escolha do chute inicial. Como sabemos que a raiz positiva está em (2,4), escolhemos um chute fácil dentro desse intervalo, por exemplo
x_0=4.
Esse ponto é simples e a derivada f'(4)=6\neq0, então a iteração é válida e converge rapidamente (Newton costuma convergir muito rápido quando estamos relativamente perto da raiz).

Passo 5

Primeira iteração ( n=0). Calcule f(x_0) e f'(x_0):
f(4)=4^{2}-2\cdot4-3=16-8-3=5,
f'(4)=2\cdot4-2=8-2=6.
Aplicando a fórmula de Newton:
x_{1}=4-\frac{5}{6}=4-\frac{5}{6}=\frac{24-5}{6}=\frac{19}{6}\approx 3{,}1666667.

Passo 6

Segunda iteração ( n=1). Trabalhando com frações exatas para manter precisão:
x_{1}=\frac{19}{6}.
Calcule f(x_1) e f'(x_1). Usando f(x)=(x-3)(x+1) facilita:
f\!\left(\frac{19}{6}\right)=\left(\frac{19}{6}-3\right)\!\left(\frac{19}{6}+1\right)=\left(\frac{19-18}{6}\right)\!\left(\frac{19+6}{6}\right)=\frac{1}{6}\cdot\frac{25}{6}=\frac{25}{36}.
f'\!\left(\frac{19}{6}\right)=2\cdot\frac{19}{6}-2=\frac{38}{6}-\frac{12}{6}=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}.
Correção:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}=\frac{19}{6}-\frac{\frac{25}{36}}{\frac{13}{3}} =\frac{19}{6}-\frac{25}{36}\cdot\frac{3}{13} =\frac{19}{6}-\frac{25}{156} =\frac{494-25}{156}=\frac{469}{156}\approx 3{,}0064103.

Passo 7

Terceira iteração ( n=2) e verificação do erro. Note que, como f(x)=(x-3)(x+1), para x_{2}=\frac{469}{156} temos
x_{2}-3=\frac{469-468}{156}=\frac{1}{156},\qquad x_{2}+1=\frac{469+156}{156}=\frac{625}{156}.
Logo
f(x_{2})=(x_{2}-3)(x_{2}+1)=\frac{1}{156}\cdot\frac{625}{156}=\frac{625}{24336}.
A derivada em x_{2} é
f'(x_{2})=2x_{2}-2=2\cdot\frac{469}{156}-2=\frac{938}{156}-\frac{312}{156}=\frac{626}{156}=\frac{313}{78}.
A correção (o passo de Newton) vale
\Delta x=\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}=\frac{\frac{625}{24336}}{\frac{313}{78}} =\frac{625}{24336}\cdot\frac{78}{313} =\frac{625}{312\cdot313}=\frac{625}{97656}.
Portanto
x_{3}=x_{2}-\Delta x=\frac{469}{156}-\frac{625}{97656}=\frac{292969}{97656}.
Observe que \frac{292969}{97656}=3+\frac{1}{97656}, pois 97656\cdot3=292968. Assim o erro absoluto em relação à raiz exata 3 é
\bigl|x_{3}-3\bigr|=\frac{1}{97656}\approx 1{,}024\times 10^{-5}.
Esse erro é menor que a tolerância pedida 10^{-4}, logo x_{3} já satisfaz a condição.

Passo 8

Conclusão prática: em apenas três iterações (a partir de x_0=4) o Método de Newton nos deu uma aproximação cuja diferença para a raiz verdadeira 3 é menor que 10^{-4}. Se você quiser, poderia continuar iterando para obter ainda mais casas corretas — mas para o pedido da questão já estamos dentro da tolerância.

Resposta

3,00001024

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