Isolar os zeros da função:
Passo 1
O que o problema pede: encontrar todos os zeros da função
; ou seja, achar todos os
tal que
.
Informações dadas e observações imediatas:
A função usa
, portanto o domínio natural é
(não existe
para
).
A igualdade a ser resolvida é
A igualdade a ser resolvida é
ou equivalentemente
Passo 2
Análise preliminar sobre onde as soluções podem estar (isso ajuda a saber quantas soluções esperar).
- Para
temos , então . Logo não pode ser . Portanto não há raízes em . - Em
temos , logo também não é raiz. - Para
temos , de modo que pode crescer e eventualmente atingir . Vamos ver se atinge uma vez só ou mais vezes.
Defina a função auxiliar
para
. Calcule a derivada:
Note que para
temos
, então
. Portanto
é estritamente crescente em
. Como
e
, a equação
tem exatamente uma solução em
. Conclusão: existe uma única raiz da equação no domínio
, e ela está em
.
Passo 3
Resolver a equação transformando-a para uma forma conhecida.
Começamos de
Fazendo a substituição
. Então
. Substituindo, obtemos
ou seja
A equação
é exatamente a equação que define a função de Lambert
: por definição,
se, e somente se,
. Assim, para
obtemos
Voltando para
: como
, temos
Também podemos usar a relação
para escrever
portanto uma forma alternativa é
Explicando de forma simples o que é
: é o número
tal que
. Essa equação não se resolve com operações elementares (soma, multiplicação, exponenciação inversa, etc.), por isso usamos a função especial
. Para
existe uma única solução real
(ramo principal do
), e por isso obtemos um único
real positivo.
Passo 4
Aproximação numérica da raiz (duas maneiras) para você poder conferir na prova.
Método A — usando o valor conhecido de
:
Sabendo que
, temos
Ou usando a forma inversa,
Método B — iteração de Newton diretamente na equação
(útil se você não lembrar do
):
A derivada é
A iteração de Newton é
Escolhendo
:
Então
Uma segunda iteração já dá
Duas ou três iterações de Newton já convergem rapidamente para o valor dado acima.
Passo 5
Resumo didático rápido (como “cola” mental para a prova):
- Domínio:
. Zer os em impossíveis porque aí. Logo a única raiz está em . - Substituir
leva a , então . - Portanto
e numericamente .