Encontre uma aproximação para raiz3 correta dentro de 10^-4 usando o Algoritmo de Bissecção.

Passo 1

Beleza, vamos achar uma aproximação de usando o Método da Bissecção, garantindo que o erro seja menor que .
Conteúdo: equações não lineares e método da bissecção.
O que a gente vai precisar:
  1. Definir a função .
  2. Escolher um intervalo inicial com .
  3. Entender o procedimento de bissecção (como dividir o intervalo e refinar a raiz).
  4. Saber o critério de parada via erro máximo permitido.

Passo 2

Definindo a função e o intervalo:
Vamos usar
f(x)=x^2-3
Para bissecção precisamos de e tais que e tenham sinais opostos. Observa:

  • Logo existe pelo menos uma raiz em . É aí que nossa está, pois .

Passo 3

Como funciona o Método da Bissecção?
  1. Calculo o ponto médio erro <= b0-a02^,n+1 .
  2. Vejo o sinal de 2^n+1 >= 210^-4=2times10^4 Longrightarrow n+1 >= log2(2times10^4)approx14,3 .
  3. Se , a raiz está em . Senão, está em .
  4. Substituo o intervalo original por esse subintervalo e repito.
Erro máximo após iterações:
Queremos , pois .
Isso dá
Então basta iterações para garantir erro < .

Passo 4

Depois de m14=a14+b142 iterações, pegamos o ponto médio final
m14approx1,73205ldots
Em vez de listar todas, dá pra notar que esse ponto fica bem próximo de
m14approx1,7320556640625,
De fato, calculando direitinho (ou usando a regra de aproximar no grid de denominador ), temos
e o erro .

Resposta

A aproximação da boxed1,73206 (arredondando em 10^-5) pelo Método da Bissecção, com erro menor que , é

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