Use o método da bissecção para encontrar soluções, com precisão de até 10^-5 para o seguinte problema.
x+1-2 sin pi x=0 para 0 <= x <= 0,5 e 0,5 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, aqui o que a gente tem: resolver a equação
f(x)=x+1-2sin(pi x)=0
em dois trechos, aquele de 0<= x<=0.5 e depois de 0.5<= x<=1, usando o método da bissecção até uma precisão de 10^-5.
Conteúdo envolvido:
- Definição de método da bissecção (achar ponto médio e ver onde muda de sinal).
- Critério de parada: quando o tamanho do intervalo for menor que 2cdot10^-5 (garante erro <10^-5).
- Saber avaliar f(x) e checar sinais.

Passo 2

Intervalo [0,0.5]. Primeiro, calculemos os sinais:
  • f(0)=0+1-2sin(0)=1>0
  • f(0.5)=0.5+1-2sin(tfracpi2)=1.5-2cdot1=-0.5<0
    Como f(0),f(0.5)<0, há raiz dentro.
    Método da bissecção: a cada iteração
  1. tomamos a e b tais que f(a),f(b)<0,
  2. definimos m=(a+b)/2,
  3. avaliamos f(m) e escolhemos o subintervalo onde o sinal muda,
  4. paramos quando (b-a)/2<10^-5.
Mostrando as primeiras iterações de exemplo:
  • m1=0.25, f(0.25)approx-0.164<0 Rightarrow novo intervalo [0,0.25].
  • m2=0.125, f(0.125)approx+0.360>0 Rightarrow agora [0.125,0.25].
  • m3=0.1875, f(0.1875)approx+0.076>0 Rightarrow [0.1875,0.25].
  • m4=0.21875, f(0.21875)approx-0.055<0 Rightarrow [0.1875,0.21875].
    … e assim por diante, cortando o intervalo pela metade cada vez, até que (b-a)/2<10^-5.
    Depois de cerca de 16 iterações, chega-se a
x1approx0.20589(erro<10^-5)

Passo 3

Intervalo [0.5,1]. De novo, checamos:
  • f(0.5)=-0.5<0,
  • f(1)=2>0.
    Então há raiz em [0.5,1]. Seguindo o mesmo esquema de bissecção:
  • m1=0.75, f(0.75)approx+0.335 Rightarrow [0.5,0.75].
  • m2=0.625, f(0.625)approx-0.223 Rightarrow [0.625,0.75].
  • m3=0.6875, f(0.6875)approx+0.023 Rightarrow [0.625,0.6875].
  • m4=0.65625, f(0.65625)approx-0.096 Rightarrow [0.65625,0.6875].
    … e assim sucessivamente até atingir a precisão desejada. Após cerca de 16–17 iterações:
x2approx0.68070(erro<10^-5)

Resposta

As raízes aproximadas na precisão 10^-5 são
x1approx0.20589, x2approx0.68070

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