Encontre aproximações para cada uma das integrais a seguir, utilizando polinômios de grau 2 e grau 3 .
integral-1^1 e^sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular aproximadamente
usando dois polinômios interpoladores na base de Newton–Cotes:
– Grau 2 (Regra de Simpson, interpola em 3 pontos)
– Grau 3 (Regra 3/8, interpola em 4 pontos)
O que vamos precisar:
  1. Escolher os pontos (nodais) no intervalo integral-1^1 e^sen(x),dx .
  2. Saber as fórmulas de Newton–Cotes fechadas de grau 2 e grau 3.
  3. Avaliar nesses pontos e aplicar as fórmulas.

Passo 2

Interpolador de grau 2 → Regra de Simpson
  1. Dividimos x0=-1, x1=0, x2=1 em 2 subintervalos de comprimento integral-1^1 f(x),dx;approx; b-a6,l[f(x0)+4f(x1)+f(x2)r] com a=-1, b=1 .
  2. Os nós são integral-1^1 e^sen(x),dx approx 26l[e^sen(-1) + 4e^sen(0) + e^sen(1)r] =13l[e^-sen(1) + 4cdot1 + e^sen(1)r]
  3. A regra de Simpson diz: e^sen(1)approx e^0.84147approx2.319, e^-sen(1)approx0.431 Como integral-1^1 e^sen(x),dx approx 13l(0.431 + 4 + 2.319r) = 6.753 = 2.25 , fica
  4. Calculemos numericamente ():Então

Passo 3

Interpolador de grau 3 → Regra 3/8 de Newton–Cotes
  1. Agora dividimos x0=-1, x1=-tfrac13, x2=+tfrac13, x3=1 em 3 subintervalos iguais, integral-1^1 f(x),dx approx 3h8l[f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3)r] .
  2. Os 4 nós são integral-1^1 e^sen(x),dx approx 14l[e^sen(-1) + 3e^sen(-tfrac13) + 3e^sen(tfrac13) + e^sen(1)r]
  3. A fórmula “3/8” é e^sen(1/3)approx e^0.327approx1.387, e^-sen(1/3)approx0.722, Como e^sen(1)approx2.319, e^-sen(1)approx0.431 , temos integral-1^1 e^sen(x),dx approx 14l( 0.431 +3cdot0.722 +3cdot1.387 +2.319 r) = 9.0774 approx 2.269 .
    Logo
  4. Avaliando ():Substituindo:

Resposta

Usando polinômios de grau 2 (Simpson) a aproximação é
2,25
e usando grau 3 (regra 3/8) dá
2,269,

Exercícios relacionados