Encontre aproximações para cada uma das integrais a seguir, utilizando polinômios de grau 2 e grau 3 .
Passo 1
Beleza, vamos calcular aproximadamente
usando dois polinômios interpoladores na base de Newton–Cotes:
– Grau 2 (Regra de Simpson, interpola em 3 pontos)
– Grau 3 (Regra 3/8, interpola em 4 pontos)
– Grau 2 (Regra de Simpson, interpola em 3 pontos)
– Grau 3 (Regra 3/8, interpola em 4 pontos)
O que vamos precisar:
- Escolher os pontos (nodais) no intervalo
. - Saber as fórmulas de Newton–Cotes fechadas de grau 2 e grau 3.
- Avaliar nesses pontos e aplicar as fórmulas.
Passo 2
Interpolador de grau 2 → Regra de Simpson
- Dividimos
em 2 subintervalos de comprimento . - Os nós são
- A regra de Simpson diz:
Como , fica - Calculemos numericamente ():Então
Passo 3
Interpolador de grau 3 → Regra 3/8 de Newton–Cotes
- Agora dividimos
em 3 subintervalos iguais, . - Os 4 nós são
- A fórmula “3/8” é
Como , temos .
Logo - Avaliando ():Substituindo:
Resposta
Usando polinômios de grau 2 (Simpson) a aproximação é
e usando grau 3 (regra 3/8) dá