Encontre aproximações para cada uma das integrais a seguir, utilizando polinômios de grau 2 e grau 3 .
integral0^3 cos (e^x) d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para aproximar
integral0^3 cosl(e^xr),dx
usando dois polinômios: um de grau 2 e outro de grau 3.
O conteúdo que a gente vai usar é a regra de Newton–Cotes fechada, ou seja:
  • Para grau 2, a regra de Simpson (usa 3 pontos, polinômio quadrático).
  • Para grau 3, a regra 3/8 de Simpson (usa 4 pontos, polinômio cúbico).
    Pra resolver você vai precisar calcular em pontos certos e aplicar as fórmulas.

Passo 2

(Aproximação com polinômio de grau 2 – Regra de Simpson)
  1. Dividimos o intervalo h = 3-02 = 1,5 em 2 subintervalos iguais, então
integral0^3 f(x),dx approx h3l[f(0) + 4,f(1,5) + f(3)r]
  1. A fórmula de Simpson é
f(0)&=cos(e^0)=cos(1)approx0,5403, f(1,5)&=cosl(e^1,5r)=cos(4,4817)approx-0,2425, f(3)&=cosl(e^3r)=cos(20,0855)approx0,3287
  1. Calculando os valores:
integral0^3 cos(e^x),dx approx 1,53l(0,5403 + 4cdot(-0,2425) + 0,3287r) =0,5cdot(-0,1010)approx -0,0505
  1. Substituindo:

Passo 3

(Aproximação com polinômio de grau 3 – Regra 3/8 de Simpson)
  1. Agora dividimos h = 3-03 = 1 em 3 subintervalos, então
integral0^3 f(x),dx approx 3h8l[f(0) + 3f(1) + 3f(2) + f(3)r]
  1. A fórmula 3/8 é
f(1)&=cos(e^1)=cos(2,7183)approx-0,9117, f(2)&=cos(e^2)=cos(7,3891)approx0,4476, já tínhamos f(0)&approx0,5403, f(3)approx0,3287
  1. Calculando:
integral0^3 cos(e^x),dx approx 3cdot18l(0,5403 + 3(-0,9117) + 3(0,4476) + 0,3287r) =0,375cdot(-1,3942)approx -0,5228 áí
  1. Substituindo:

Resposta

  • Com polinômio de grau 2 (Simpson):
  • Com polinômio de grau 3 (Simpson 3/8):

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