Encontre aproximações para cada uma das integrais a seguir, utilizando polinômios de grau 2 e grau 3 .
integral2^8 ln (x^2-3) d x

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para a gente aproximar a integral
integral2^8 lnl(x^2-3r),dx
usando polinômios de grau 2 e grau 3. Isso é um problema de integração numérica – a gente vai substituir a função complicada por um polinômio (interpolador) e integrar esse polinômio no lugar da função original. Para grau 2 usamos a Regra de Simpson (que interpola por uma parábola) e, para grau 3, a Regra de 3/8 de Simpson (que interpola por um cúbico).

Passo 2

Conteúdo teórico – Regra de Simpson (polinômio de grau 2):
  • Dividimos o intervalo em 2 subintervalos iguais (n=2).
  • O passo é integrala^b f(x),dx approx h3l[f(x0)+4f(x1)+f(x2)r] .
  • Os pontos são
    , , .
  • A fórmula é
Aqui . Vamos computar os valores:
,
,
.

Passo 3

Aplicando Simpson (grau 2):
integral2^8ln(x^2-3),dx &approx 33l[,f(2)+4f(5)+f(8)r] &=1l[,0 +4cdot3.0910 +4.1109r] &= 12.3640 + 4.1109 &approx 16.4749

Passo 4

Conteúdo teórico – Regra de 3/8 de Simpson (polinômio de grau 3):
  • Agora dividimos em 3 subintervalos iguais (n=3).
  • O passo é integrala^b f(x),dx approx 3h8l[f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3)r] .
  • Os pontos:
    , , , .
  • A fórmula é
Vamos aos valores:
,
.
Já temos e .

Passo 5

Aplicando 3/8 de Simpson (grau 3):
integral2^8ln(x^2-3),dx &approx 3cdot28l[f(2)+3f(4)+3f(6)+f(8)r] &= 68l[,0 +3cdot2.5651 +3cdot3.4965 +4.1109r] &=0.75l[,7.6953 +10.4895 +4.1109r] &=0.75cdot22.2957 &approx16.7218

Resposta

Integral aproximada por polinômio grau 2 (Regra de Simpson): 16.4749
Integral aproximada por polinômio grau 3 (Regra 3/8 de Simpson): 16.7218

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