Encontre aproximações para cada uma das integrais a seguir, utilizando polinômios de grau 2 e grau 3 .
integral1^7 sen(x^3+x^2) d x

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é calcular
integral1^7sinl(x^3+x^2r),dx
usando polinômios de grau 2 e de grau 3. Na prática isso significa empregar as fórmulas de Newton–Cotes fechadas:
  • Grau 2 → Regra de Simpson (1/3) (polinômio quadrático).
  • Grau 3 → Regra 3/8 de Simpson (polinômio cúbico).
Para isso precisaremos:
  1. Dividir o intervalo [1,7] em n subintervalos iguais (n=2 e n=3).
  2. Avaliar nesses nós.
  3. Aplicar as fórmulas (explicadas no Passo 2 e no Passo 3).

Passo 2

Grau 2 → Regra de Simpson (1/3)
  1. Dividimos [1,7] em n=2 subintervalos, então h = 7-12 = 3 Os pontos são
    f0 = sin(1^3+1^2)=sin2, f1 = sin(4^3+4^2)=sin80, f2 = sin(7^3+7^2)=sin392
  2. Calculamos integral1^7 f(x),dx approx h3l(f0 + 4f1 + f2r)
  3. A fórmula de Simpson (que integra exatamente um polinômio de grau ≤2) é integral1^7sin(x^3+x^2),dx approx 33l(sin2 + 4sin80 + sin392r) = sin2 + 4sin80 + sin392 Substituindo sin2approx0,9093,; sin80approx-0,9930,; sin392approx0,6460, : Simpson (grau 2)approx 0,9093 + 4(-0,9930) + 0,6460 approx -2,417
  4. Em valores numéricos (ângulos em rad): daí

Passo 3

Grau 3 → Regra 3/8 de Simpson
  1. Agora n=3 subintervalos, então h = 7-13 = 2 Pontos: f0=sin2approx0,9093, f1=sin(3^3+3^2)=sin36approx-0,9910,
  2. Avaliamos f2=sin(5^3+5^2)=sin150approx-0,7090, f3=sin392approx0,6460 integral1^7f(x),dx approx 3h8l(f0 + 3f1 + 3f2 + f3r)
  3. A fórmula 3/8 integra exatamente grau ≤3: 3cdot28=0,75, Como integral1^7sin(x^3+x^2),dx approx 0,75l(0,9093 + 3(-0,9910) + 3(-0,7090) + 0,6460r) , Regra 3/8 (grau 3)approx -2,659 então
  4. Calculando por dentro:
    ,
    multiplicando por 0,75 dá

Resposta

Aproximações para
:
  • Usando polinômio de grau 2 (Regra de Simpson):
  • Usando polinômio de grau 3 (Regra 3/8):

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