Encontre aproximações para cada uma das integrais a seguir, utilizando polinômios de grau 2 e grau 3 .
Passo 1
Beleza, o que temos aqui é calcular
usando polinômios de grau 2 e de grau 3. Na prática isso significa empregar as fórmulas de Newton–Cotes fechadas:
- Grau 2 → Regra de Simpson (1/3) (polinômio quadrático).
- Grau 3 → Regra 3/8 de Simpson (polinômio cúbico).
Para isso precisaremos:
- Dividir o intervalo [1,7] em n subintervalos iguais (n=2 e n=3).
- Avaliar
nesses nós. - Aplicar as fórmulas (explicadas no Passo 2 e no Passo 3).
Passo 2
Grau 2 → Regra de Simpson (1/3)
- Dividimos [1,7] em n=2 subintervalos, então
Os pontos são
- Calculamos
- A fórmula de Simpson (que integra exatamente um polinômio de grau ≤2) é
Substituindo : - Em valores numéricos (ângulos em rad):
daí
Passo 3
Grau 3 → Regra 3/8 de Simpson
- Agora n=3 subintervalos, então
Pontos: - Avaliamos
- A fórmula 3/8 integra exatamente grau ≤3:
Como , então - Calculando por dentro:
,
multiplicando por 0,75 dá
Resposta
Aproximações para
:
- Usando polinômio de grau 2 (Regra de Simpson):
- Usando polinômio de grau 3 (Regra 3/8):