Na tabela a seguir temos os valores do preço unitário p na compra de n unidades de um produto em uma indústria. Fazendo a escolha adequada dos pontos, encontre o que se pede em cada item.
n 0 1 10 50 100 500 1000 5000 10000
p 0 2,75 2,65 2,50 2,30 2,25 2,10 2,00 1,80
Um polinômio interpolador de grau 4 para prever o preço unitário de 300 unidades.

Passo 1

Beleza, a questão nos dá uma tabelinha de preço unitário p em função da quantidade n e pede um polinômio de grau 4 para estimar o preço em n=300. Isso é um problema de interpolação polinomial – mais especificamente, vamos usar a fórmula de Lagrange. Pra isso precisamos de 5 pontos (xi,yi) e da fórmula
P4(x)=sumi=1^5 yi,elli(x), elli(x)=prodjneq ix-xjxi-xj,

Passo 2

Escolhendo 5 pontos que abracem bem x=300, uso:
(x1,y1)&=(10,2.65), (x2,y2)&=(50,2.50), (x3,y3)&=(100,2.30), (x4,y4)&=(500,2.25), (x5,y5)&=(1000,2.10)

Passo 3

Montamos cada base de Lagrange em x=300:
elli(300)=prodjneq i300-xjxi-xj,
Em seguida calculamos yi,elli(300) para i=1,dots,5.

Passo 4

Fazendo as contas (vale calcular passo a passo em papel ou numa planilha):
  • ell1(300)approx4.0106;Rightarrow;y1ell1approx2.65cdot4.0106=10.630
  • ell2(300)approx-9.4953;Rightarrow;y2ell2approx2.50cdot(-9.4953)=-23.738
  • ell3(300)approx6.2654;Rightarrow;y3ell3approx2.30cdot6.2654=14.410
  • ell4(300)approx0.2302;Rightarrow;y4ell4approx2.25cdot0.2302=0.518
  • ell5(300)approx-0.00685;Rightarrow;y5ell5approx2.10cdot(-0.00685)=-0.014
Somando tudo em P4(300):
P4(300)approx10.630-23.738+14.410+0.518-0.014approx1.806,

Resposta

O preço unitário estimado para 300 unidades é aproximadamente
boxedp(300)approx1.806 (mesma unidade do prob<=ma)

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