Na tabela a seguir temos os valores do preço unitário p na compra de n unidades de um produto em uma indústria. Fazendo a escolha adequada dos pontos, encontre o que se pede em cada item.
n 0 1 10 50 100 500 1000 5000 10000
p 0 2,75 2,65 2,50 2,30 2,25 2,10 2,00 1,80
Um polinômio interpolador de grau 2 para prever o preço unitário de 40 unidades.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente usar um polinômio interpolador de grau 2 (ou seja, uma parábola) pra estimar o preço unitário quando . Isso é conteúdo de interpolação polinomial, mais especificamente o método de Lagrange, que usa três pontos conhecidos pra construir esse polinômio. Vamos precisar:
  1. Escolher 3 pontos da tabela mais próximos de .
  2. Usar a fórmula de Lagrange pra montar o polinômio.
  3. Avaliar esse polinômio em .

Passo 2

Primeiro, escolho os pontos P2(n)=sumi=0^2 pi,Li(n), Li(n)=prodjneq in-njni-nj , e , porque 10 < 40 < 50 e 100 é o próximo mais “perto”.
A fórmula de Lagrange para grau 2 é:

Passo 3

Vamos calcular cada :
Confere que .

Passo 4

Agora monto P2(40) =2.65cdottfrac16 ;+;2.50cdot0.9 ;+;2.30cdotl(-tfrac115r) approx0.4417 + 2.2500 - 0.1533 approx2.5384 :

Resposta

O preço unitário estimado para boxedp(40)approx2.54 é aproximadamente

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