Encontre aproximações numéricas para soluções do sistema de equações
2 x1-x2 & =cos (x1) -x1+2 x2-x3 & =cos (x2) -x2+x3 & =cos (x3)
usando as seguintes aproximações iniciais:
X^(0)=(0,0,0).

Passo 1

Então, o enunciado pede para achar soluções aproximadas de um sistema de três equações não‐lineares
2x1-x2=cos(x1) -x1+2x2-x3=cos(x2) -,x2+x3=cos(x3)
usando o chute inicial 2x1-x2-cos x1-x1+2x2-x3-cos x2-x2+x3-cos x3.
Isto faz parte da matéria de “Métodos Numéricos para sistemas não‐lineares”, mais especificamente do método de Newton para sistemas.
O que vamos precisar:
  1. Escrever o vetor-função
    .
  2. Calcular a Jacobiana .
  3. Em cada passo longo calcular a partir de

    e atualizar .

Passo 2

Vamos ao primeiro passo do método de Newton:
  1. Em F(X^(0))= 2cdot0-0-cos(0) -0+2cdot0-0-cos(0) -0+0-cos(0) = -1-1-1 , calculamos JF(X)= 2+sin x1 & -1 & 0 -1 & 2+sin x2 & -1 0 & -1 & 1+sin x3 :
    [
    F(X^{(0)})=
    JF(X^(0))= 2&-1&0-1&2&-10&-1&1

    JF(X^(0)),De.
    ]
  2. A Jacobiana é 2,DeAvaliando em X^(1)=X^(0)+De (onde ),
  3. Agora resolvemos Em equações: Resolvendo (por substituição ou regra de Cramer) obtemos
    .
  4. Então o novo chute é

Passo 3

Repetimos o processo em F(X^(1))= 2cdot3-5-cos3 -3+2cdot5-6-cos5 -5+6-cos6 approx 1.989990.716340.03983 :
  1. Calculamos JF(X^(1))approx 2.1411&-1&0 -1&1.0411&-1 0&-1&0.7206
  2. A Jacobiana em JF(X^(1)),De usa X^(2)=X^(1)+De, logo
  3. Resolvendo
  4. Atualizamos

Resposta

Depois de duas iterações de Newton, a aproximação é
X^(2)approx(3.04721,;7.09112,;8.84783)
Observação: nesse ponto vemos que os valores estão crescendo em vez de se estabilizar, ou seja, o método de Newton, com o chute inicial , não converge para este sistema.

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