O objetivo dessa questão é encontrar uma aproximação numérica para o ponto da circunferência (x, y) in R^2 mid(x-3)^2+(y-3)^2=9 onde a função F: R^2 R, dada por F(x, y)=x^3+y^3+3 x y, atinge seu valor máximo. Para isso, nós precisamos
resolver o seguinte sistema de equações:
l x^2+y=lambda(x-3), x+y^2=lambda(y-3), (x-3)^2+(y-3)^2=9
Agora comece com o ponto que você obteve no item (a), aplique mais uma iteração do Método de Newton, e resolva o sistema linear resultante usando a Fatoração LU ou a Fatoração de Cholesky.

Passo 1

Beleza, a ideia aqui é dar mais uma refinada no palpite que você achou no item (a) usando uma iteração do Método de Newton para sistemas não lineares. O conteúdo que a gente vai usar é:
  1. representar o sistema de Lagrange como um vetor‐função J(x^(0),y^(0),lambda^(0)),De;
  2. montar a matriz jacobiana desse sistema;
  3. resolver o sistema linear
usando fatoração LU;
4) atualizar .
Você só precisa saber:
  • Newton para sistemas: atualizar .
  • Fatoração LU: escrever e resolver , depois .

Passo 2

Definimos
[
G(x,y,\lambda)= G(x,y,lambda)= G1 [6pt] G2 [6pt] G3 = x^2 + y - lambda,(x-3)[4pt] x + y^2 - lambda,(y-3)[4pt] (x-3)^2 + (y-3)^2 - 9 ,

J(x,y,lambda) = partial G1partial x&partial G1partial y&partial G1partiallambda[4pt] partial G2partial x&partial G2partial y&partial G2partiallambda[4pt] partial G3partial x&partial G3partial y&partial G3partiallambda = 2x-lambda & 1 & -(x-3) 1 & 2y-lambda & -(y-3) 2(x-3) & 2(y-3) & 0 ,
]
e a jacobiana
[
J(x,y,\lambda)
=

.
]

Passo 3

Suponha que no item (a) você tenha acabado com o ponto
(x^(0),y^(0),lambda^(0))=(5.1,;4.9,;13)
Primeiro calculamos
[
G(5.1,4.9,13)\approx
G(5.1,4.9,13)approx 5.1^2+4.9-13,(2.1) 5.1+4.9^2-13,(1.9) 2.1^2+1.9^2-9 = 3.61 4.41 -0.98 ,

J(5.1,4.9,13)approx 2cdot5.1-13 & 1 & -2.1 1 & 2cdot4.9-13 & -1.9 4.2 & 3.8 & 0 = -2.8 & 1 & -2.1 1 & -3.2 & -1.9 4.2 & 3.8 & 0 ,
]
e a jacobiana naquele ponto
[
J(5.1,4.9,13)\approx
-2.8 & 1 & -2.1 1 & -3.2 & -1.9 4.2 & 3.8 & 0 De

.
]

Então o sistema a resolver é
[

.
]

Passo 4

Vamos fatorar z1=-3.61, z2=-4.41 - ell21,z1=-4.41 -(-0.3571)(-3.61)approx -5.70, z3=0.98 - ell31,z1 - ell32,z2 =0.98 -(-1.5)(-3.61)-(-1.865)(-5.70)approx -15.066 .
  1. -2.8,De

Agora resolvemos em duas etapas:
a)
b)
Da terceira equação .
Substituindo na segunda: .
Finalmente da primeira: .

Passo 5

Atualiza a solução:
x^(1) = 5.1 + (-0.0113) = 5.0887, y^(1) = 4.9 + 0.2686 = 5.1686, lambda^(1) = 13 + 1.862 = 14.862

Resposta

Após uma iteração de Newton (resolvendo o linear por LU), a nova aproximação do triplo boxed(x^(1),,y^(1),,lambda^(1)) approx (5.089,;5.169,;14.862) é

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