Encontre aproximações numéricas para soluções do sistema de equações
2 x1-x2 & =cos (x1) -x1+2 x2-x3 & =cos (x2) -x2+x3 & =cos (x3)
usando as seguintes aproximações iniciais:
X^(0)=(-2,-3,-4).

Passo 1

Beleza, a questão é encontrar uma solução aproximada do sistema
2x1 - x2 = cos(x1) -,x1 + 2x2 - x3 = cos(x2) -,x2 + x3 = cos(x3)
usando como chute inicial
X^(0) = (-2,,-3,,-4)
Isso é matéria de métodos numéricos para sistemas não-lineares, mais especificamente o Método de Newton em R³. Para resolver você vai precisar:
1) Definir o vetor função X^(k+1) ;=; X^(k) ;-; J(X^(k))^-1,Fl(X^(k)r) cujas componentes são os lados esquerdo menos .
2) Montar a matriz jacobiana com as derivadas parciais de cada .
3) Repetir a iteração

até convergir.

Passo 2

Primeiro, escrevemos
F(X)= 2x1 - x2 - cos(x1) -,x1 +2x2 -x3 - cos(x2) -,x2 +x3 - cos(x3) ,
e a jacobiana
J(X)= 2 + sin(x1) & -1 & 0[6pt] -1 & 2 + sin(x2) & -1[6pt] 0 & -1 & 1 + sin(x3)
Na iteração Jl(X^(k)r),De a gente
  1. calcula e ,
  2. resolve o sistema linear
  1. define .

Passo 3

Iteração 1 ( cos(-2)approx -0.4161, sin(-2)approx -0.9093, cos(-3)approx -0.9900, sin(-3)approx -0.1411, cos(-4)approx -0.6536, sin(-4)approx 0.7568 , F(X^(0))approx -0.58385 0.98999 -0.34636 , J(X^(0))approx 1.0907 & -1 & 0 -1 & 1.8589 & -1 0 & -1 & 1.7568 ):
  1. Avaliando senos e cossenos:
X^(1) = X^(0) - De
  1. Resolvendo
    .
  2. Atualizamos

Passo 4

Iteração 2 ( F(X^(1))approx 0.00149 -0.23226 -0.01229 , J(X^(1))approx 1.1330 & -1 & 0 -1 & 2.5200 & -1 0 & -1 & 1.8690 ):
  1. Calcula X^(2) = X^(1) - De e em cada componente e monta
  1. Resolve e acha
    .
  2. Atualiza

Resposta

Uma boa aproximação da solução, após duas iterações de Newton, é
boxedXapprox(-1.907,,-3.473,,-4.073)

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